Номер 773, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

773. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $E$. Найдите площадь трапеции, если $BC : AD = 3 : 5$, а площадь треугольника $AED$ равна $175\text{ см}^2$.

Пусть дана трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$. Продолжения боковых сторон $AB$ и $CD$ пересекаются в точке $E$. Таким образом, образуются два треугольника: $\triangle AED$ и $\triangle BEC$.

По определению трапеции, её основания параллельны, то есть $BC \parallel AD$.

Рассмотрим треугольники $\triangle BEC$ и $\triangle AED$. Угол $\angle E$ является общим для обоих треугольников. Углы $\angle EBC$ и $\angle EAD$ равны как соответственные углы при параллельных прямых $BC$ и $AD$ и секущей $AE$. Аналогично, $\angle ECB$ и $\angle EDA$ равны как соответственные углы при тех же параллельных прямых и секущей $DE$. Следовательно, треугольник $\triangle BEC$ подобен треугольнику $\triangle AED$ по первому признаку подобия (по двум углам).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату их коэффициента подобия $k$. Коэффициент подобия, в свою очередь, равен отношению длин соответственных сторон. В нашем случае: $k = \frac{BC}{AD}$

Из условия задачи известно, что $BC : AD = 3 : 5$, значит, коэффициент подобия $k = \frac{3}{5}$.

Найдем отношение площадей этих треугольников: $\frac{S_{\triangle BEC}}{S_{\triangle AED}} = k^2 = (\frac{3}{5})^2 = \frac{9}{25}$

Площадь треугольника $\triangle AED$ дана и равна $S_{\triangle AED} = 175$ см². Теперь мы можем найти площадь треугольника $\triangle BEC$: $S_{\triangle BEC} = S_{\triangle AED} \cdot \frac{9}{25} = 175 \cdot \frac{9}{25} = 7 \cdot 9 = 63$ см².

Площадь трапеции $ABCD$ равна разности площадей большого треугольника $\triangle AED$ и малого треугольника $\triangle BEC$: $S_{ABCD} = S_{\triangle AED} - S_{\triangle BEC} = 175 - 63 = 112$ см².

Ответ: 112 см².