Номер 766, страница 188 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

766. Окружность с центром O касается прямой a. Докажите, что образ этой окружности при гомотетии с центром A, где A – произвольная точка прямой a (рис. 241), касается этой прямой.

766.

Пусть $\omega$ — данная окружность с центром $O$ и радиусом $R$. Прямая $a$ касается окружности $\omega$, следовательно, расстояние от точки $O$ до прямой $a$ равно $R$. Обозначим это расстояние как $d(O, a) = R$.

Рассмотрим гомотетию с центром $A$ на прямой $a$ и коэффициентом $k$. Образом окружности $\omega$ при этой гомотетии является окружность $\omega'$.

Центром окружности $\omega'$ является точка $O'$ — образ точки $O$. По определению гомотетии, $\vec{AO'} = k \cdot \vec{AO}$. Радиус окружности $\omega'$ равен $R' = |k| \cdot R$.

Чтобы доказать, что окружность $\omega'$ касается прямой $a$, нужно показать, что расстояние от её центра $O'$ до прямой $a$ равно её радиусу $R'$, то есть $d(O', a) = R'$.

Так как центр гомотетии $A$ лежит на прямой $a$, то прямая $a$ является инвариантной относительно этой гомотетии, то есть переходит сама в себя.

Пусть $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из центра $O$ на прямую $a$. Тогда $H$ лежит на прямой $a$, и $OH = d(O, a) = R$.

При гомотетии с центром $A$ точка $O$ переходит в точку $O'$, а точка $H$ переходит в точку $H'$, которая также лежит на прямой $a$. Вектор $\vec{OH}$ переходит в вектор $\vec{O'H'}$, причем $\vec{O'H'} = k \cdot \vec{OH}$.

Из последнего векторного равенства следует, что прямые $O'H'$ и $OH$ параллельны. Так как $OH \perp a$, то и $O'H' \perp a$. Следовательно, длина отрезка $O'H'$ есть расстояние от точки $O'$ до прямой $a$.

Длина отрезка $O'H'$ равна: $d(O', a) = O'H' = |k| \cdot OH = |k| \cdot R$.

Таким образом, мы получили, что расстояние от центра новой окружности до прямой $a$ равно $d(O', a) = |k| \cdot R$. В то же время, радиус новой окружности $R' = |k| \cdot R$.

Поскольку $d(O', a) = R'$, окружность $\omega'$ касается прямой $a$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.

767.

Даны точки: центр гомотетии $M(4; 0)$, прообраз $B(8; 6)$ и его образ $A(2; -3)$. Пусть $k$ — искомый коэффициент гомотетии.

Определение гомотетии в векторной форме записывается как $\vec{MA} = k \cdot \vec{MB}$.

Найдем координаты векторов $\vec{MA}$ и $\vec{MB}$:

$\vec{MA} = (A_x - M_x; A_y - M_y) = (2 - 4; -3 - 0) = (-2; -3)$.

$\vec{MB} = (B_x - M_x; B_y - M_y) = (8 - 4; 6 - 0) = (4; 6)$.

Подставим координаты векторов в формулу гомотетии:$(-2; -3) = k \cdot (4; 6)$.

Это векторное равенство равносильно системе уравнений для каждой из координат:

$\begin{cases} -2 = k \cdot 4 \\ -3 = k \cdot 6 \end{cases}$

Из первого уравнения находим $k$:

$k = \frac{-2}{4} = -0,5$.

Из второго уравнения также находим $k$:

$k = \frac{-3}{6} = -0,5$.

Так как значения $k$, полученные из обоих уравнений, совпадают, коэффициент гомотетии найден верно.

Ответ: -0,5.