Номер 760, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 20. Гомотетия. Подобие фигур. Глава 5. Геометрические преобразования - номер 760, страница 187.

Условие.

760. Площадь треугольника равна $S$. Найдите площадь треугольника, вершины которого – середины средних линий данного треугольника.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

Пусть дан исходный треугольник $ \triangle ABC $ с площадью $ S_{ABC} = S $.

Шаг 1: Нахождение площади треугольника, образованного средними линиями.

Пусть $ D, E, F $ — середины сторон $ BC, CA, AB $ соответственно. Отрезки $ DE, EF, FD $ являются средними линиями треугольника $ \triangle ABC $. Они образуют новый треугольник $ \triangle DEF $.

Согласно свойству средней линии, треугольник, образованный средними линиями исходного треугольника, подобен ему. Коэффициент подобия $ k $ равен $ \frac{1}{2} $, так как длина каждой средней линии равна половине длины параллельной ей стороны.

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия:

$ \frac{S_{DEF}}{S_{ABC}} = k^2 = (\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4} $

Отсюда находим площадь треугольника $ \triangle DEF $:

$ S_{DEF} = \frac{1}{4} S_{ABC} = \frac{S}{4} $

Шаг 2: Нахождение площади искомого треугольника.

По условию, вершины искомого треугольника — это середины средних линий $ DE, EF, FD $ данного треугольника. Это означает, что искомый треугольник образован средними линиями треугольника $ \triangle DEF $.

Применяя ту же логику, что и в Шаге 1, мы можем утверждать, что площадь искомого треугольника будет в 4 раза меньше площади треугольника $ \triangle DEF $.

Пусть $ S_{иск} $ — площадь искомого треугольника. Тогда:

$ S_{иск} = \frac{1}{4} S_{DEF} $

Теперь подставим значение $ S_{DEF} $, найденное на первом шаге:

$ S_{иск} = \frac{1}{4} \cdot (\frac{S}{4}) = \frac{S}{16} $

Таким образом, площадь треугольника, вершины которого — середины средних линий данного треугольника, равна $ \frac{1}{16} $ от площади исходного треугольника.

Ответ: $ \frac{S}{16} $.