Номер 761, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 237

761. Отрезок $MN$ – средняя линия треугольника $ABC$ (рис. 237). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой: 1) отрезок $AC$ является образом отрезка $MN$; 2) отрезок $MN$ является образом отрезка $AC$.

Гомотетия — это преобразование подобия, определяемое центром $O$ и коэффициентом $k \ne 0$. При гомотетии каждая точка $X$ фигуры переходит в точку $X'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OX'} = k \cdot \vec{OX}$. При этом отрезок переходит в параллельный ему отрезок, а отношение длины образа к длине прообраза равно $|k|$.

По условию, $MN$ — средняя линия треугольника $ABC$. Это означает, что точки $M$ и $N$ являются серединами сторон $AB$ и $BC$ соответственно. Из свойства средней линии известно, что $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC$.

Поскольку отрезки $MN$ и $AC$ параллельны, один может быть получен из другого с помощью гомотетии. Центр гомотетии должен лежать на прямых, соединяющих соответствующие точки. В нашем случае это прямые $AM$ (которая является прямой $AB$) и $CN$ (которая является прямой $BC$). Точкой пересечения прямых $AB$ и $BC$ является вершина $B$. Следовательно, точка $B$ является центром гомотетии в обоих случаях.

1) отрезок $AC$ является образом отрезка $MN$

В этом случае отрезок $MN$ является прообразом, а отрезок $AC$ — образом. Гомотетия с центром в точке $B$ переводит точку $M$ в $A$, а точку $N$ в $C$.

Коэффициент гомотетии $k$ можно найти из отношения длин образа к прообразу:

$|k| = \frac{AC}{MN}$

Так как $MN = \frac{1}{2}AC$, то $AC = 2MN$. Подставим это в формулу:

$|k| = \frac{2MN}{MN} = 2$

Поскольку прообраз $MN$ и образ $AC$ находятся по одну сторону от центра гомотетии $B$, коэффициент $k$ является положительным числом. Таким образом, $k = 2$.

Векторно это можно записать как $\vec{BA} = 2 \cdot \vec{BM}$ и $\vec{BC} = 2 \cdot \vec{BN}$, что соответствует действительности, так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k=2$.

2) отрезок $MN$ является образом отрезка $AC$

В этом случае отрезок $AC$ является прообразом, а отрезок $MN$ — образом. Гомотетия с центром в точке $B$ переводит точку $A$ в $M$, а точку $C$ в $N$.

Коэффициент гомотетии $k$ можно найти из отношения длин образа к прообразу:

$|k| = \frac{MN}{AC}$

Так как $MN = \frac{1}{2}AC$, подставим это в формулу:

$|k| = \frac{\frac{1}{2}AC}{AC} = \frac{1}{2}$

Поскольку прообраз $AC$ и образ $MN$ находятся по одну сторону от центра гомотетии $B$, коэффициент $k$ является положительным числом. Таким образом, $k = \frac{1}{2}$.

Векторно это можно записать как $\vec{BM} = \frac{1}{2} \cdot \vec{BA}$ и $\vec{BN} = \frac{1}{2} \cdot \vec{BC}$, что соответствует действительности, так как $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $BC$.

Ответ: центр гомотетии — точка $B$, коэффициент $k=\frac{1}{2}$.