Номер 765, страница 187 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

765. Окружности с центрами $O_1$ и $O_2$ соответственно с радиусами $R$ и $r$ касаются внутренним образом в точке $O$ (рис. 240). Докажите, что окружность с центром $O_1$ является образом окружности с центром $O_2$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $-\frac{R}{r}$.

Рис. 240

Пусть нам даны две окружности: $\omega_1$ с центром в точке $O_1$ и радиусом $R$, и $\omega_2$ с центром в точке $O_2$ и радиусом $r$. Они касаются внутренним образом в точке $O$.

Необходимо доказать, что окружность $\omega_1$ является образом окружности $\omega_2$ при гомотетии с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = \frac{R}{r}$.

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром $O$ и коэффициентом $k$ отображает каждую точку $M$ в точку $M'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Доказательство проведем в два этапа:

1. Докажем, что центр $O_1$ окружности $\omega_1$ является образом центра $O_2$ окружности $\omega_2$.
По свойству касающихся окружностей, точка касания $O$ и центры $O_1$ и $O_2$ лежат на одной прямой. Так как касание внутреннее, точка $O_2$ лежит на отрезке $OO_1$.
Расстояние от точки касания $O$ до центра $O_1$ равно радиусу $R$, то есть $|OO_1| = R$.
Расстояние от точки касания $O$ до центра $O_2$ равно радиусу $r$, то есть $|OO_2| = r$.
Векторы $\vec{OO_1}$ и $\vec{OO_2}$ сонаправлены. Рассмотрим их отношение:$$\frac{|\vec{OO_1}|}{|\vec{OO_2}|} = \frac{R}{r}$$Так как векторы сонаправлены, мы можем записать векторное равенство:$$\vec{OO_1} = \frac{R}{r} \cdot \vec{OO_2}$$Это в точности соответствует определению гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{R}{r}$, где точка $O_1$ является образом точки $O_2$.

2. Докажем, что любая точка окружности $\omega_1$ является образом некоторой точки окружности $\omega_2$.
Возьмем произвольную точку $M_2$ на окружности $\omega_2$. Это означает, что расстояние от центра $O_2$ до этой точки равно радиусу $r$, то есть $|O_2M_2| = r$.
Найдем ее образ $M_1$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{R}{r}$. По определению гомотетии:$$\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM_2}$$Нам нужно доказать, что точка $M_1$ лежит на окружности $\omega_1$, то есть что расстояние от $O_1$ до $M_1$ равно $R$ ($|O_1M_1| = R$).
Рассмотрим вектор $\vec{O_1M_1}$. Используя правило вычитания векторов, получаем:$$\vec{O_1M_1} = \vec{OM_1} - \vec{OO_1}$$Подставим известные нам выражения для $\vec{OM_1}$ и $\vec{OO_1}$:$$\vec{O_1M_1} = (k \cdot \vec{OM_2}) - (k \cdot \vec{OO_2}) = k \cdot (\vec{OM_2} - \vec{OO_2})$$Выражение в скобках равно вектору $\vec{O_2M_2}$, следовательно:$$\vec{O_1M_1} = k \cdot \vec{O_2M_2}$$Теперь найдем модуль (длину) этого вектора:$$|O_1M_1| = |\vec{O_1M_1}| = |k \cdot \vec{O_2M_2}| = |k| \cdot |\vec{O_2M_2}|$$Так как $R$ и $r$ — радиусы, они положительны, поэтому $k = \frac{R}{r} > 0$ и $|k| = k = \frac{R}{r}$. Длина вектора $|\vec{O_2M_2}|$ равна радиусу $r$.
Подставляем значения:$$|O_1M_1| = \frac{R}{r} \cdot r = R$$Таким образом, расстояние от точки $O_1$ до точки $M_1$ равно $R$. Это означает, что точка $M_1$ лежит на окружности $\omega_1$.
Поскольку мы выбрали произвольную точку $M_2$ на окружности $\omega_2$ и показали, что ее образ $M_1$ лежит на окружности $\omega_1$, мы доказали, что окружность $\omega_1$ является образом окружности $\omega_2$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $\frac{R}{r}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.