Номер 754, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

754. В треугольнике $ABC$ медианы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$ пересекаются в точке $M$. Точки $K$, $F$ и $N$ – середины отрезков $AM$, $BM$ и $CM$ соответственно. Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник $ABC$ является образом треугольника $KFN$.

Пусть искомая гомотетия имеет центр в точке $O$ и коэффициент $k$. По условию, треугольник $ABC$ является образом треугольника $KFN$. Это означает, что гомотетия переводит вершины треугольника $KFN$ в соответствующие вершины треугольника $ABC$: точка $K$ переходит в точку $A$, точка $F$ — в точку $B$, и точка $N$ — в точку $C$.

Согласно определению гомотетии, для этих пар точек должны выполняться следующие векторные равенства:

$\vec{OA} = k \cdot \vec{OK}$
$\vec{OB} = k \cdot \vec{OF}$
$\vec{OC} = k \cdot \vec{ON}$

Из первого равенства $\vec{OA} = k \cdot \vec{OK}$ следует, что точки $O$, $K$ и $A$ лежат на одной прямой. По условию задачи, точка $K$ является серединой отрезка $AM$. Это значит, что точки $A$, $K$ и $M$ также лежат на одной прямой — медиане $AA_1$. Следовательно, центр гомотетии $O$ должен принадлежать прямой $AM$.

Рассматривая два других равенства, приходим к аналогичным выводам. Из $\vec{OB} = k \cdot \vec{OF}$ и того, что $F$ — середина $BM$, следует, что центр $O$ должен лежать на прямой $BM$. Из $\vec{OC} = k \cdot \vec{ON}$ и того, что $N$ — середина $CM$, следует, что центр $O$ должен лежать на прямой $CM$.

Единственной точкой, принадлежащей всем трем медианам треугольника ($AM$, $BM$ и $CM$), является точка их пересечения $M$. Таким образом, центром искомой гомотетии является точка $M$.

Теперь, зная центр гомотетии, найдем ее коэффициент $k$. Подставим $O = M$ в первое векторное равенство:

$\vec{MA} = k \cdot \vec{MK}$

Так как $K$ — середина отрезка $AM$, то вектор $\vec{MK}$ имеет то же направление, что и вектор $\vec{MA}$, а его длина в два раза меньше длины вектора $\vec{MA}$. Это можно записать в виде $\vec{MK} = \frac{1}{2}\vec{MA}$.

Выразим из последнего равенства вектор $\vec{MA}$:

$\vec{MA} = 2 \cdot \vec{MK}$

Сравнивая это равенство с равенством из определения гомотетии $\vec{MA} = k \cdot \vec{MK}$, приходим к выводу, что коэффициент $k = 2$.

Проверка для остальных пар точек дает тот же результат. Таким образом, треугольник $ABC$ является образом треугольника $KFN$ при гомотетии с центром в точке пересечения медиан $M$ и коэффициентом $k=2$.

Ответ: Центр гомотетии — точка пересечения медиан $M$, коэффициент гомотетии равен 2.