Номер 747, страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

747. На рисунке 233 изображены две параллельные прямые a и b. Постройте центр гомотетии, при которой прямая b является образом прямой a с коэффициентом: 1) $k = 2$; 2) $k = \frac{1}{2}$; 3) $k = -\frac{1}{2}$. Сколько решений имеет задача?

Рис. 232

Рис. 233

Центр гомотетии $O$, переводящей прямую $a$ в параллельную ей прямую $b$ с коэффициентом $k \neq 1$, не является единственной точкой. Геометрическим местом таких центров является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$. Положение этой прямой определяется условием, что для любой точки $O$ на ней отношение расстояний до прямых $b$ и $a$ равно модулю коэффициента гомотетии: $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |k|$.

Если $k > 0$, центр гомотетии $O$ находится вне полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

Если $k < 0$, центр гомотетии $O$ находится между прямыми $a$ и $b$.

Для построения этой прямой центров $c$, проведем перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, который пересекает их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно. На этом перпендикуляре найдем точку $P_c$, принадлежащую искомой прямой центров, и проведем через нее прямую, параллельную $a$ и $b$.

1) $k = 2$

Так как $k = 2 > 0$, центр гомотетии находится вне полосы между прямыми $a$ и $b$. Отношение расстояний от центра $O$ до прямых должно быть $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |2| = 2$. Это означает, что прямая $a$ является средней линией между прямой $b$ и искомой прямой центров $c$.
Построение:
1. Проведем произвольный перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, пересекающий их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно.
2. На продолжении отрезка $P_b P_a$ за точку $P_a$ отложим отрезок $P_a P_c$, равный отрезку $P_b P_a$.
3. Через точку $P_c$ проведем прямую $c$, параллельную прямым $a$ и $b$. Эта прямая и есть искомое множество центров гомотетии.

Ответ: Множеством центров гомотетии является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$, для которой прямая $a$ является средней линией между $b$ и $c$.

2) $k = \frac{1}{2}$

Так как $k = 1/2 > 0$, центр гомотетии находится вне полосы между $a$ и $b$. Отношение расстояний $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Это означает, что прямая $b$ является средней линией между прямой $a$ и искомой прямой центров $c$.
Построение:
1. Проведем произвольный перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, пересекающий их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно.
2. На продолжении отрезка $P_a P_b$ за точку $P_b$ отложим отрезок $P_b P_c$, равный отрезку $P_a P_b$.
3. Через точку $P_c$ проведем прямую $c$, параллельную прямым $a$ и $b$. Эта прямая является искомым множеством центров гомотетии.

Ответ: Множеством центров гомотетии является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$, для которой прямая $b$ является средней линией между $a$ и $c$.

3) $k = -\frac{1}{2}$

Так как $k = -1/2 < 0$, центр гомотетии находится в полосе между прямыми $a$ и $b$. Отношение расстояний $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Это значит, что прямая центров $c$ делит расстояние между прямыми $a$ и $b$ в отношении 2:1, считая от прямой $a$.
Построение:
1. Проведем произвольный перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, пересекающий их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно.
2. Разделим отрезок $P_a P_b$ точкой $P_c$ в отношении $P_a P_c : P_c P_b = 2:1$.
3. Через точку $P_c$ проведем прямую $c$, параллельную прямым $a$ и $b$. Эта прямая является искомым множеством центров гомотетии.

Ответ: Множеством центров гомотетии является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$ и делящая расстояние между ними в отношении 2:1, находясь в два раза дальше от прямой $a$, чем от прямой $b$.

Сколько решений имеет задача?

В каждом из трех рассмотренных случаев искомый центр гомотетии не является единственным. Множеством всех возможных центров является прямая линия. Поскольку любая прямая содержит бесконечное множество точек, то для каждого заданного коэффициента $k$ существует бесконечное множество центров гомотетии.

Ответ: Задача имеет бесконечное множество решений.