Номер 741, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

741. На рисунке 228 точка $A_1$ – образ точки $A$ при гомотетии с центром $O$. Постройте образ точки $B$ при этой гомотетии.

Рис. 228

a

б

Гомотетия с центром $O$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$, где $k$ — это некоторое число, не равное нулю, называемое коэффициентом гомотетии.

Из этого определения следует, что точки $O$, $M$ и $M_1$ лежат на одной прямой. Если $k > 0$, то точки $M$ и $M_1$ лежат на одном луче с началом в точке $O$. Если $k < 0$, то они лежат на разных (противоположно направленных) лучах. Расстояние от центра гомотетии до образа точки равно $OM_1 = |k| \cdot OM$.

Для построения образа точки $B$ необходимо сначала определить коэффициент гомотетии $k$ по известной паре точек $A$ и $A_1$, а затем применить это преобразование к точке $B$.

Удобный способ построения, который работает для любого значения $k$, основан на свойстве гомотетии переводить любую прямую в параллельную ей прямую. В частности, отрезок $A_1B_1$ будет параллелен отрезку $AB$. Это приводит к следующему универсальному алгоритму построения.

1. Определение знака и величины коэффициента $k$.
Соединим точки $O$ и $A$ прямой. Мы видим, что центр гомотетии $O$ находится между точкой $A$ и ее образом $A_1$. Это означает, что коэффициент гомотетии $k$ отрицательный. Его модуль равен отношению расстояний: $|k| = \frac{OA_1}{OA}$.

2. Построение образа точки $B$.
Образ точки $B$, назовем его $B_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{OB}$. Так как $k<0$, точка $B_1$ будет лежать на прямой $OB$, но по другую сторону от центра $O$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $O$ и $B$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
3. Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$.
4. Точка пересечения построенной на шаге 3 прямой с прямой $OB$ и будет искомым образом $B_1$.

Построение основано на подобии треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$.

Ответ: Для построения точки $B_1$, являющейся образом точки $B$, нужно провести прямую через $O$ и $B$, а затем через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $B_1$.

1. Определение знака и величины коэффициента $k$.
Соединим точки $O$ и $A$ прямой. Мы видим, что точки $A$ и ее образ $A_1$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $O$. Это означает, что коэффициент гомотетии $k$ положительный. Его величина равна отношению расстояний: $k = \frac{OA_1}{OA}$. Судя по рисунку, $k > 1$.

2. Построение образа точки $B$.
Образ точки $B$, точка $B_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{OB}$. Так как $k>0$, точка $B_1$ будет лежать на луче $OB$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $O$ и $B$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
3. Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$.
4. Точка пересечения построенной на шаге 3 прямой с прямой $OB$ и будет искомым образом $B_1$.

Это тот же самый алгоритм, что и в пункте а), так как он универсален. Построение основано на подобии треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$.

Ответ: Для построения точки $B_1$, являющейся образом точки $B$, нужно провести прямую через $O$ и $B$, а затем через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $B_1$.