Страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

741. На рисунке 228 точка $A_1$ – образ точки $A$ при гомотетии с центром $O$. Постройте образ точки $B$ при этой гомотетии.

Рис. 228

a

б

Гомотетия с центром $O$ — это преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M_1$, что выполняется векторное равенство $\vec{OM_1} = k \cdot \vec{OM}$, где $k$ — это некоторое число, не равное нулю, называемое коэффициентом гомотетии.

Из этого определения следует, что точки $O$, $M$ и $M_1$ лежат на одной прямой. Если $k > 0$, то точки $M$ и $M_1$ лежат на одном луче с началом в точке $O$. Если $k < 0$, то они лежат на разных (противоположно направленных) лучах. Расстояние от центра гомотетии до образа точки равно $OM_1 = |k| \cdot OM$.

Для построения образа точки $B$ необходимо сначала определить коэффициент гомотетии $k$ по известной паре точек $A$ и $A_1$, а затем применить это преобразование к точке $B$.

Удобный способ построения, который работает для любого значения $k$, основан на свойстве гомотетии переводить любую прямую в параллельную ей прямую. В частности, отрезок $A_1B_1$ будет параллелен отрезку $AB$. Это приводит к следующему универсальному алгоритму построения.

1. Определение знака и величины коэффициента $k$.
Соединим точки $O$ и $A$ прямой. Мы видим, что центр гомотетии $O$ находится между точкой $A$ и ее образом $A_1$. Это означает, что коэффициент гомотетии $k$ отрицательный. Его модуль равен отношению расстояний: $|k| = \frac{OA_1}{OA}$.

2. Построение образа точки $B$.
Образ точки $B$, назовем его $B_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{OB}$. Так как $k<0$, точка $B_1$ будет лежать на прямой $OB$, но по другую сторону от центра $O$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $O$ и $B$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
3. Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$.
4. Точка пересечения построенной на шаге 3 прямой с прямой $OB$ и будет искомым образом $B_1$.

Построение основано на подобии треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$.

Ответ: Для построения точки $B_1$, являющейся образом точки $B$, нужно провести прямую через $O$ и $B$, а затем через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $B_1$.

1. Определение знака и величины коэффициента $k$.
Соединим точки $O$ и $A$ прямой. Мы видим, что точки $A$ и ее образ $A_1$ лежат по одну сторону от центра гомотетии $O$. Это означает, что коэффициент гомотетии $k$ положительный. Его величина равна отношению расстояний: $k = \frac{OA_1}{OA}$. Судя по рисунку, $k > 1$.

2. Построение образа точки $B$.
Образ точки $B$, точка $B_1$, должен удовлетворять условию $\vec{OB_1} = k \cdot \vec{OB}$. Так как $k>0$, точка $B_1$ будет лежать на луче $OB$.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $O$ и $B$.
2. Провести прямую через точки $A$ и $B$.
3. Через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$.
4. Точка пересечения построенной на шаге 3 прямой с прямой $OB$ и будет искомым образом $B_1$.

Это тот же самый алгоритм, что и в пункте а), так как он универсален. Построение основано на подобии треугольников $\triangle OAB$ и $\triangle OA_1B_1$.

Ответ: Для построения точки $B_1$, являющейся образом точки $B$, нужно провести прямую через $O$ и $B$, а затем через точку $A_1$ провести прямую, параллельную прямой $AB$. Точка пересечения этих двух прямых и будет искомой точкой $B_1$.

742. На рисунке 229 точка $A_1$ — образ точки $A$ при гомотетии с коэффициентом:

1) $k = 3$;

2) $k = -2$.

Постройте центр гомотетии.

Рис. 228

a

$O$

$A$

$B$

$A_1$

б

$O$

$A$

$B$

$A_1$

Рис. 229

$A$

$A_1$

По определению гомотетии, центр гомотетии O, точка A и её образ A₁ лежат на одной прямой. Положение центра O относительно точек A и A₁ можно найти с помощью векторного соотношения: $ \vec{AO} = \frac{1}{1-k} \vec{AA_1} $.
Подставим в эту формулу заданный коэффициент гомотетии $k=3$:
$ \vec{AO} = \frac{1}{1-3} \vec{AA_1} = -\frac{1}{2} \vec{AA_1} $.
Это векторное равенство означает, что:

• Центр O лежит на прямой, проходящей через точки A и A₁.
• Вектор $ \vec{AO} $ направлен в сторону, противоположную вектору $ \vec{AA_1} $. Это значит, что точка A находится между точками O и A₁.
• Длина отрезка AO равна половине длины отрезка AA₁, то есть $ AO = \frac{1}{2} AA_1 $.

Построение центра гомотетии O:
1. Проведите прямую через точки A и A₁.
2. На этой прямой, на продолжении отрезка A₁A за точку A, отложите отрезок AO, длина которого равна половине длины отрезка AA₁. Для этого можно, например, найти середину отрезка AA₁ и отложить расстояние от A до середины в нужную сторону.
Ответ: Центр гомотетии O — это точка на прямой AA₁, такая, что A лежит между O и A₁, и расстояние $ AO = \frac{1}{2} AA_1 $.

Используем ту же формулу для нахождения положения центра гомотетии O: $ \vec{AO} = \frac{1}{1-k} \vec{AA_1} $.
Подставим в эту формулу значение $k=-2$:
$ \vec{AO} = \frac{1}{1-(-2)} \vec{AA_1} = \frac{1}{3} \vec{AA_1} $.
Это векторное равенство означает, что:

• Центр O лежит на прямой, проходящей через точки A и A₁.
• Вектор $ \vec{AO} $ сонаправлен с вектором $ \vec{AA_1} $, а его длина в три раза меньше. Это значит, что точка O лежит на отрезке AA₁. Такое расположение центра между прообразом и образом соответствует отрицательному коэффициенту гомотетии.
• Длина отрезка AO равна одной трети длины отрезка AA₁, то есть $ AO = \frac{1}{3} AA_1 $.

Построение центра гомотетии O:
1. Соедините точки A и A₁ отрезком.
2. Разделите отрезок AA₁ на три равные части (например, с помощью теоремы Фалеса).
3. Точка O будет первой точкой деления, считая от точки A.
Ответ: Центр гомотетии O — это точка на отрезке AA₁, которая делит его в отношении $ AO : OA_1 = 1:2 $.

743. На рисунке 230 изображены прямоугольник $ABCD$ и точки $A_1$ и $D_1$, которые являются образами соответственно точек $A$ и $D$ при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника $ABCD$ при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?

Рис. 230

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем сторону одной клетки сетки за единицу длины. Исходя из рисунка, можно задать координаты вершин исходного прямоугольника $ABCD$: $A(1, 1)$, $B(1, 3)$, $C(2, 3)$, $D(2, 1)$. Координаты образов точек $A$ и $D$ при преобразовании подобия: $A_1(4, 4)$ и $D_1(3, 6)$.

При преобразовании подобия прямоугольник $ABCD$ переходит в подобный ему прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$. Найдем коэффициент подобия $k$. Для этого вычислим длины отрезков $AD$ и $A_1D_1$.
Длина стороны $AD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$.
Длина ее образа, стороны $A_1D_1 = \sqrt{(3-4)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{A_1D_1}{AD} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Теперь найдем длину стороны $A_1B_1$. Длина стороны $AB$ исходного прямоугольника равна $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
Длина ее образа $A_1B_1$ должна быть в $k$ раз больше: $A_1B_1 = k \cdot AB = \sqrt{5} \cdot 2 = 2\sqrt{5}$.
Поскольку преобразование подобия сохраняет углы, сторона $A_1B_1$ должна быть перпендикулярна стороне $A_1D_1$.

Для нахождения координат вершин $B_1$ и $C_1$ воспользуемся векторами.
Вектор $\vec{A_1D_1}$ имеет координаты: $\vec{A_1D_1} = (3-4, 6-4) = (-1, 2)$.
Пусть вектор $\vec{A_1B_1}$ имеет координаты $(x, y)$. Условие перпендикулярности векторов $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{A_1B_1}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{A_1D_1} \cdot \vec{A_1B_1} = 0 \implies -1 \cdot x + 2 \cdot y = 0 \implies x = 2y$.
Длина вектора $\vec{A_1B_1}$ должна быть равна $2\sqrt{5}$, то есть $|\vec{A_1B_1}|^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$.
$x^2 + y^2 = 20$.
Подставим $x = 2y$ в уравнение длины: $(2y)^2 + y^2 = 20 \implies 4y^2 + y^2 = 20 \implies 5y^2 = 20 \implies y^2 = 4$.
Отсюда получаем два возможных значения: $y = 2$ и $y = -2$. Это означает, что существует два возможных решения.

Поскольку существует два возможных вектора $\vec{A_1B_1}$, перпендикулярных вектору $\vec{A_1D_1}$ и имеющих требуемую длину, существует два возможных образа прямоугольника, симметричных относительно прямой $A_1D_1$.
Случай 1: Если $y=2$, то $x=2y=4$. Вектор $\vec{A_1B_1} = (4, 2)$. Координаты точки $B_1$ находим как $A_1 + \vec{A_1B_1} = (4+4, 4+2) = (8, 6)$. Координаты точки $C_1$ находим как $D_1 + \vec{A_1B_1} = (3+4, 6+2) = (7, 8)$. Вершины образа: $A_1(4, 4)$, $B_1(8, 6)$, $C_1(7, 8)$, $D_1(3, 6)$.
Случай 2: Если $y=-2$, то $x=2y=-4$. Вектор $\vec{A_1B_1} = (-4, -2)$. Координаты точки $B_1$: $A_1 + \vec{A_1B_1} = (4-4, 4-2) = (0, 2)$. Координаты точки $C_1$: $D_1 + \vec{A_1B_1} = (3-4, 6-2) = (-1, 4)$. Вершины образа: $A_1(4, 4)$, $B_1(0, 2)$, $C_1(-1, 4)$, $D_1(3, 6)$.
Ответ: Прямоугольник с вершинами $A_1(4, 4)$, $B_1(8, 6)$, $C_1(7, 8)$, $D_1(3, 6)$ или прямоугольник с вершинами $A_1(4, 4)$, $B_1(0, 2)$, $C_1(-1, 4)$, $D_1(3, 6)$.

Как было показано в ходе решения, существует два возможных положения для образа искомого прямоугольника.
Ответ: Задача имеет 2 решения.

744. На рисунке 231 изображены прямоугольник ABCD и точки $A_1$ и $C_1$, являющиеся образами соответственно точек $A$ и $C$ при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника ABCD при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?

Рис. 230

Рис. 231

Преобразование подобия переводит прямоугольник $ABCD$ в подобный ему прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$. Диагональ $AC$ исходного прямоугольника переходит в диагональ $A_1C_1$ нового.

Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки. Определим координаты заданных точек: $A(2, 4)$, $C(6, 2)$, $A_1(1, 1)$, $C_1(3, 2)$.

Найдем длины диагоналей $AC$ и $A_1C_1$: $|AC| = \sqrt{(6-2)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. $|A_1C_1| = \sqrt{(3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин образов к длинам прообразов: $k = \frac{|A_1C_1|}{|AC|} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Найдем длины сторон исходного прямоугольника $ABCD$: $|AB| = 6 - 2 = 4$. $|AD| = 4 - 2 = 2$.

Длины сторон искомого прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ будут в $k$ раз меньше: $|A_1B_1| = k \cdot |AB| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. $|A_1D_1| = k \cdot |AD| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

Для построения прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ необходимо найти координаты вершин $B_1$ и $D_1$. В прямоугольнике диагональ является гипотенузой для прямоугольного треугольника, образованного двумя смежными сторонами. Таким образом, для треугольника $A_1B_1C_1$ выполняется теорема Пифагора: $|A_1B_1|^2 + |B_1C_1|^2 = |A_1C_1|^2$. Поскольку $B_1C_1$ является стороной прямоугольника, то $|B_1C_1| = |A_1D_1| = 1$. Проверим: $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 = (\sqrt{5})^2 = |A_1C_1|^2$. Равенство верно.

Вектор диагонали $\vec{A_1C_1}$ является суммой векторов смежных сторон: $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$. Известно, что $\vec{A_1C_1} = (3-1, 2-1) = (2, 1)$. Пусть $\vec{A_1B_1} = (x, y)$ и $\vec{A_1D_1} = (z, w)$. Тогда:

• $|\vec{A_1B_1}| = \sqrt{x^2+y^2} = 2 \implies x^2+y^2 = 4$.
• $|\vec{A_1D_1}| = \sqrt{z^2+w^2} = 1 \implies z^2+w^2 = 1$.
• $\vec{A_1B_1} \perp \vec{A_1D_1} \implies xz + yw = 0$.
• $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1} \implies (2, 1) = (x+z, y+w)$. Отсюда $z = 2-x$ и $w = 1-y$.

Подставим $z$ и $w$ в условие перпендикулярности: $x(2-x) + y(1-y) = 0 \implies 2x - x^2 + y - y^2 = 0$. Зная, что $x^2+y^2=4$, получаем: $2x + y - (x^2+y^2) = 0 \implies 2x + y - 4 = 0$, откуда $y = 4-2x$.

Теперь подставим $y$ в уравнение длины вектора $x^2+y^2=4$: $x^2 + (4-2x)^2 = 4$ $x^2 + 16 - 16x + 4x^2 = 4$ $5x^2 - 16x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 256 - 240 = 16 = 4^2$. $x_1 = \frac{16 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1,2$. $x_2 = \frac{16 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

Получили два возможных решения.

Постройте образ прямоугольника ABCD при этом преобразовании.

Решение 1. Если $x = 2$, то $y = 4 - 2(2) = 0$. Тогда $\vec{A_1B_1} = (2, 0)$. $\vec{A_1D_1} = (2-x, 1-y) = (2-2, 1-0) = (0, 1)$. Координаты вершин: $A_1 = (1, 1)$ $B_1 = A_1 + \vec{A_1B_1} = (1, 1) + (2, 0) = (3, 1)$ $D_1 = A_1 + \vec{A_1D_1} = (1, 1) + (0, 1) = (1, 2)$ $C_1 = (3, 2)$ (соответствует условию) Получили прямоугольник с вершинами $A_1(1,1)$, $B_1(3,1)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,2)$.

Решение 2. Если $x = 1,2$, то $y = 4 - 2(1,2) = 4 - 2,4 = 1,6$. Тогда $\vec{A_1B_1} = (1,2; 1,6)$. $\vec{A_1D_1} = (2-x, 1-y) = (2-1,2; 1-1,6) = (0,8; -0,6)$. Координаты вершин: $A_1 = (1, 1)$ $B_1 = A_1 + \vec{A_1B_1} = (1, 1) + (1,2; 1,6) = (2,2; 2,6)$ $D_1 = A_1 + \vec{A_1D_1} = (1, 1) + (0,8; -0,6) = (1,8; 0,4)$ $C_1 = (3, 2)$ (соответствует условию, так как $B_1+D_1-A_1 = (2,2+1,8-1; 2,6+0,4-1)=(3,2)$). Получили прямоугольник с вершинами $A_1(1,1)$, $B_1(2,2; 2,6)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,8; 0,4)$.

Ответ: Существуют два прямоугольника, удовлетворяющие условиям. Первый имеет вершины $A_1(1,1)$, $B_1(3,1)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,2)$. Второй имеет вершины $A_1(1,1)$, $B_1(2,2; 2,6)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,8; 0,4)$.

Сколько решений имеет задача?

Как показано выше, существует два набора координат для вершин $B_1$ и $D_1$, которые удовлетворяют всем условиям задачи. Геометрически это означает, что на диагонали $A_1C_1$ как на диаметре можно построить окружность. Вершины $B_1$ и $D_1$ должны лежать на этой окружности. Однако, длины сторон $A_1B_1$ и $A_1D_1$ фиксированы. Вершина $B_1$ должна находиться на пересечении двух окружностей: одна с центром в $A_1$ и радиусом $R_1=|A_1B_1|=2$, другая с центром в $C_1$ и радиусом $R_2=|B_1C_1|=1$. Так как расстояние между центрами $|A_1C_1|=\sqrt{5}$ удовлетворяет условию $|R_1-R_2| < |A_1C_1| < R_1+R_2$ (т.е. $1 < \sqrt{5} < 3$), то эти окружности пересекаются в двух точках. Каждая точка пересечения дает одно возможное положение для вершины $B_1$, что однозначно определяет положение вершины $D_1$. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.

745. Постройте образ треугольника $ABC$ при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = 2$ и осевой симметрии относительно прямой $l$ (рис. 232). Укажите коэффициент подобия.

Рис. 232

Для решения задачи необходимо последовательно выполнить два геометрических преобразования: сначала гомотетию треугольника $ABC$ относительно центра $O$ с коэффициентом $k=2$, а затем осевую симметрию полученного треугольника относительно прямой $l$.

Шаг 1: Гомотетия

Первое преобразование — гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k = 2$. При гомотетии каждая вершина треугольника $ABC$ переходит в новую точку. Образ точки $M$ при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это точка $M'$, для которой выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Для построения образа треугольника $A'B'C'$ найдем образы его вершин $A, B, C$:

• На луче $OA$ откладываем точку $A'$ так, чтобы расстояние $OA'$ было в два раза больше расстояния $OA$ ($OA' = 2 \cdot OA$).
• Аналогично на луче $OB$ находим точку $B'$ такую, что $OB' = 2 \cdot OB$.
• На луче $OC$ находим точку $C'$ такую, что $OC' = 2 \cdot OC$.

Соединив точки $A', B', C'$, получаем треугольник $A'B'C'$ — образ треугольника $ABC$ после гомотетии.

Шаг 2: Осевая симметрия

Второе преобразование — осевая симметрия относительно прямой $l$. Применяем это преобразование к полученному треугольнику $A'B'C'$.

Для каждой вершины треугольника $A'B'C'$ находим ее симметричный образ относительно прямой $l$. Образ точки $M'$ — это точка $M''$, лежащая на перпендикуляре к прямой $l$, проведенном из точки $M'$, на том же расстоянии от прямой $l$, но с другой стороны.

• Строим точку $A''$, симметричную точке $A'$ относительно прямой $l$.
• Строим точку $B''$, симметричную точке $B'$ относительно прямой $l$.
• Строим точку $C''$, симметричную точке $C'$ относительно прямой $l$.

Треугольник $A''B''C''$ является искомым образом треугольника $ABC$.

Для точного построения на клетчатой бумаге введем систему координат с началом в точке $O(0, 0)$ и осями, параллельными линиям сетки. Тогда вершины исходного треугольника имеют координаты: $A(1, 3)$, $B(4, 2)$, $C(2, 1)$. Прямая $l$ имеет уравнение $x=5$.

• Координаты вершин после гомотетии ($M(x, y) \rightarrow M'(2x, 2y)$):
  $A(1, 3) \rightarrow A'(2, 6)$
  $B(4, 2) \rightarrow B'(8, 4)$
  $C(2, 1) \rightarrow C'(4, 2)$
• Координаты вершин после осевой симметрии относительно $x=5$ ($M'(x', y') \rightarrow M''(2 \cdot 5 - x', y')$):
  $A'(2, 6) \rightarrow A''(10 - 2, 6) = A''(8, 6)$
  $B'(8, 4) \rightarrow B''(10 - 8, 4) = B''(2, 4)$
  $C'(4, 2) \rightarrow C''(10 - 4, 2) = C''(6, 2)$

Ответ: Искомый образ — это треугольник $A''B''C''$, полученный в результате описанных построений. В системе координат, где $O(0,0)$, его вершины находятся в точках $A''(8, 6)$, $B''(2, 4)$ и $C''(6, 2)$.

Преобразование подобия является композицией гомотетии с коэффициентом $k=2$ и осевой симметрии. Осевая симметрия является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками. Коэффициент подобия для любого движения равен 1.

Коэффициент подобия композиции преобразований равен произведению их коэффициентов подобия. Таким образом, итоговый коэффициент подобия равен коэффициенту гомотетии, умноженному на коэффициент осевой симметрии.

Коэффициент подобия $= k_{\text{гомотетии}} \cdot k_{\text{симметрии}} = 2 \cdot 1 = 2$.

В общем случае, коэффициент подобия преобразования, которое является композицией гомотетии и движения, равен модулю коэффициента гомотетии. В данном случае он равен $|k| = |2| = 2$.

Ответ: 2.

746. Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Отметьте точку O на расстоянии 4 см от её центра. Постройте образ этой окружности при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром O и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$ и поворота с центром O по часовой стрелке на угол $45^\circ$. Укажите коэффициент подобия.

Пусть $C$ — центр исходной окружности, а $r$ — её радиус. По условию, $r = 2$ см. Пусть $O$ — точка, находящаяся на расстоянии $OC = 4$ см от центра $C$.

Требуется найти образ исходной окружности при композиции двух преобразований: гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$, и поворота вокруг того же центра $O$ на 45° по часовой стрелке.

Выполним преобразования последовательно.

1. Гомотетия. Применим к исходной окружности гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Образом окружности при гомотетии является окружность.

• Центр новой окружности $C'$ является образом центра $C$. По определению гомотетии, вектор $\vec{OC'}$ связан с вектором $\vec{OC}$ соотношением $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC} = \frac{1}{2} \vec{OC}$. Это означает, что точка $C'$ лежит на отрезке $OC$, а её расстояние от центра гомотетии равно $OC' = \frac{1}{2} \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
• Радиус новой окружности $r'$ равен произведению исходного радиуса на модуль коэффициента гомотетии: $r' = |k| \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

Итак, после первого преобразования мы получили окружность с центром в точке $C'$ (середине отрезка $OC$) и радиусом $r' = 1$ см.

2. Поворот. Теперь к полученной окружности с центром $C'$ и радиусом $r' = 1$ см применим поворот вокруг центра $O$ на 45° по часовой стрелке. Поворот является движением, поэтому он сохраняет размеры фигуры.

• Образом будет окружность с таким же радиусом $r'' = r' = 1$ см.
• Центр итоговой окружности $C''$ является образом центра $C'$. При повороте расстояние от центра поворота сохраняется, поэтому $OC'' = OC' = 2$ см. Угол между лучами $OC'$ и $OC''$ будет равен 45°, с поворотом по часовой стрелке.

Таким образом, итоговый образ — это окружность с радиусом 1 см. Её центр $C''$ расположен на расстоянии 2 см от точки $O$, а луч $OC''$ образует с лучом $OC$ угол 45° (по часовой стрелке).

Итоговое преобразование является преобразованием подобия, так как оно представляет собой композицию гомотетии и движения (поворота). Коэффициент подобия определяется коэффициентом гомотетии и равен $|k|$. В данном случае коэффициент подобия равен $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Ответ: Образом исходной окружности является окружность с радиусом 1 см. Её центр расположен на расстоянии 2 см от точки $O$ на луче, который получен поворотом луча $OC$ на 45° по часовой стрелке вокруг точки $O$. Коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.