Номер 746, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

746. Начертите окружность, радиус которой равен 2 см. Отметьте точку O на расстоянии 4 см от её центра. Постройте образ этой окружности при преобразовании подобия, которое является композицией двух преобразований: гомотетии с центром O и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$ и поворота с центром O по часовой стрелке на угол $45^\circ$. Укажите коэффициент подобия.

Пусть $C$ — центр исходной окружности, а $r$ — её радиус. По условию, $r = 2$ см. Пусть $O$ — точка, находящаяся на расстоянии $OC = 4$ см от центра $C$.

Требуется найти образ исходной окружности при композиции двух преобразований: гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$, и поворота вокруг того же центра $O$ на 45° по часовой стрелке.

Выполним преобразования последовательно.

1. Гомотетия. Применим к исходной окружности гомотетию с центром $O$ и коэффициентом $k = \frac{1}{2}$. Образом окружности при гомотетии является окружность.

• Центр новой окружности $C'$ является образом центра $C$. По определению гомотетии, вектор $\vec{OC'}$ связан с вектором $\vec{OC}$ соотношением $\vec{OC'} = k \cdot \vec{OC} = \frac{1}{2} \vec{OC}$. Это означает, что точка $C'$ лежит на отрезке $OC$, а её расстояние от центра гомотетии равно $OC' = \frac{1}{2} \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.
• Радиус новой окружности $r'$ равен произведению исходного радиуса на модуль коэффициента гомотетии: $r' = |k| \cdot r = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$ см.

Итак, после первого преобразования мы получили окружность с центром в точке $C'$ (середине отрезка $OC$) и радиусом $r' = 1$ см.

2. Поворот. Теперь к полученной окружности с центром $C'$ и радиусом $r' = 1$ см применим поворот вокруг центра $O$ на 45° по часовой стрелке. Поворот является движением, поэтому он сохраняет размеры фигуры.

• Образом будет окружность с таким же радиусом $r'' = r' = 1$ см.
• Центр итоговой окружности $C''$ является образом центра $C'$. При повороте расстояние от центра поворота сохраняется, поэтому $OC'' = OC' = 2$ см. Угол между лучами $OC'$ и $OC''$ будет равен 45°, с поворотом по часовой стрелке.

Таким образом, итоговый образ — это окружность с радиусом 1 см. Её центр $C''$ расположен на расстоянии 2 см от точки $O$, а луч $OC''$ образует с лучом $OC$ угол 45° (по часовой стрелке).

Итоговое преобразование является преобразованием подобия, так как оно представляет собой композицию гомотетии и движения (поворота). Коэффициент подобия определяется коэффициентом гомотетии и равен $|k|$. В данном случае коэффициент подобия равен $|\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$.

Ответ: Образом исходной окружности является окружность с радиусом 1 см. Её центр расположен на расстоянии 2 см от точки $O$ на луче, который получен поворотом луча $OC$ на 45° по часовой стрелке вокруг точки $O$. Коэффициент подобия равен $\frac{1}{2}$.