Номер 748, страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

748. Начертите трапецию $ABCD$, основание $BC$ которой в два раза меньше основания $AD$. Постройте центр гомотетии, при которой отрезок $AD$ является образом отрезка $BC$ с коэффициентом:

1) $k = 2$;

2) $k = -2$.

Сначала начертим трапецию $ABCD$, у которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), и длина основания $AD$ в два раза больше длины основания $BC$, то есть $AD = 2 \cdot BC$. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит отрезок $BC$ в отрезок $AD$. Это означает, что $|AD| = |k| \cdot |BC|$. Так как по условию $AD = 2 \cdot BC$, то $|k| \cdot BC = 2 \cdot BC$, откуда $|k|=2$. Оба случая, предложенные в задаче, удовлетворяют этому условию.

1) k = 2;

Если коэффициент гомотетии $k=2$ положителен, то образ (точка $A$ или $D$) и прообраз (точка $B$ или $C$) лежат на одном луче, выходящем из центра гомотетии $O$. Это соответствует случаю, когда точка $B$ переходит в точку $A$, а точка $C$ – в точку $D$. При этом должны выполняться векторные равенства: $\vec{OA} = 2 \cdot \vec{OB}$ и $\vec{OD} = 2 \cdot \vec{OC}$.

Из равенства $\vec{OA} = 2 \cdot \vec{OB}$ следует, что точки $O$, $B$, $A$ лежат на одной прямой. Поскольку $k>0$, точка $O$ не лежит между $A$ и $B$. Это означает, что центр гомотетии $O$ лежит на прямой, содержащей боковую сторону $AB$. Аналогично, из равенства $\vec{OD} = 2 \cdot \vec{OC}$ следует, что центр гомотетии $O$ лежит на прямой, содержащей боковую сторону $CD$.

Следовательно, центр гомотетии $O$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $CD$, на которых лежат боковые стороны трапеции.

Для построения центра гомотетии необходимо продлить боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения. Точка пересечения и будет искомым центром.

Ответ: Центром гомотетии является точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$.

2) k = -2;

Если коэффициент гомотетии $k=-2$ отрицателен, то центр гомотетии $O$ лежит на отрезке, соединяющем прообраз и образ. Например, если точка $X$ переходит в $X'$, то $O$ лежит на отрезке $XX'$.

Если предположить, что $B$ переходит в $A$, а $C$ в $D$, то центр $O$ должен лежать на отрезке $AB$ и одновременно на отрезке $CD$. Но боковые стороны трапеции не пересекаются, поэтому такое отображение невозможно. Значит, отображение происходит "крест-накрест": точка $B$ переходит в точку $D$, а точка $C$ – в точку $A$.

В этом случае должны выполняться векторные равенства: $\vec{OD} = -2 \cdot \vec{OB}$ и $\vec{OA} = -2 \cdot \vec{OC}$.

Из равенства $\vec{OD} = -2 \cdot \vec{OB}$ следует, что точки $O$, $B$, $D$ лежат на одной прямой, и $O$ находится между $B$ и $D$. Это означает, что центр гомотетии $O$ лежит на диагонали $BD$. Аналогично, из равенства $\vec{OA} = -2 \cdot \vec{OC}$ следует, что центр гомотетии $O$ лежит на диагонали $AC$.

Следовательно, центр гомотетии $O$ — это точка пересечения диагоналей трапеции $AC$ и $BD$.

Для построения центра гомотетии необходимо провести диагонали $AC$ и $BD$. Точка их пересечения и будет искомым центром.

Ответ: Центром гомотетии является точка пересечения диагоналей трапеции $AC$ и $BD$.