Номер 750, страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

750. Какие из фигур, изображённых на рисунке 234, совпадают со своими образами при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k > 0$ и $k \neq 1$?

Рис. 234

а

б

в

г

д

а

Фигура является прямой, а центр гомотетии $O$ не лежит на этой прямой. При гомотетии с центром $O$ образом прямой, не проходящей через центр, является другая прямая, параллельная исходной. Поскольку по условию коэффициент гомотетии $k \ne 1$, образ прямой не совпадает с самой прямой. Таким образом, фигура не совпадает со своим образом.

Ответ: не совпадает.

б

Фигура является прямой, а центр гомотетии $O$ лежит на этой прямой. Пусть $l$ – данная прямая, и точка $O$ принадлежит $l$. Для любой точки $M$ на прямой $l$ ее образ $M'$ определяется условием $\vec{OM'} = k \vec{OM}$. Так как точки $O$ и $M$ лежат на прямой $l$, вектор $\vec{OM}$ коллинеарен направляющему вектору этой прямой. Следовательно, вектор $\vec{OM'}$ также ему коллинеарен, и точка $M'$ принадлежит прямой $l$. Для любой точки $P$ на прямой $l$ можно найти ее прообраз $Q$ на той же прямой, такой что $\vec{OQ} = \frac{1}{k}\vec{OP}$. Это означает, что образом прямой $l$ является сама прямая $l$. Фигура совпадает со своим образом.

Ответ: совпадает.

в

Фигура является отрезком, один из концов которого, точка $O$, является центром гомотетии. Пусть второй конец отрезка – точка $A$. Образом точки $O$ при гомотетии является сама точка $O$. Образом точки $A$ является точка $A'$, лежащая на луче $OA$ и удовлетворяющая условию $OA' = k \cdot OA$. Поскольку $k > 0$ и $k \ne 1$, то $OA' \ne OA$, и точка $A'$ не совпадает с $A$. Образом отрезка $OA$ является отрезок $OA'$. Так как длины отрезков $OA$ и $OA'$ различны, фигура не совпадает со своим образом.

Ответ: не совпадает.

г

Фигура представляет собой угол (или объединение двух лучей), вершина которого $O$ является центром гомотетии. Любой луч с началом в центре гомотетии является инвариантной фигурой относительно этой гомотетии. Действительно, для любой точки $M$ на таком луче ее образ $M'$ ($OM' = k \cdot OM$) также будет лежать на этом же луче. И для любой точки $P$ на луче найдется прообраз $Q$ ($OQ = \frac{1}{k} OP$), также лежащий на этом луче. Так как оба луча, составляющие фигуру, отображаются сами на себя, то и вся фигура совпадает со своим образом.

Ответ: совпадает.

д

Фигура является окружностью с центром в точке $O$, которая также является центром гомотетии. Пусть радиус окружности равен $R$. Для любой точки $M$ на окружности расстояние $OM = R$. Ее образ $M'$ будет лежать на луче $OM$ на расстоянии $OM' = k \cdot OM = kR$. Поскольку $k \ne 1$, то $OM' \ne R$, и точка $M'$ не лежит на исходной окружности. Образом данной окружности будет окружность с тем же центром $O$, но с радиусом $R' = kR$. Так как радиусы окружностей различны ($R' \ne R$), фигура не совпадает со своим образом.

Ответ: не совпадает.