Номер 749, страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

749. В параллелограмме $ABCD$ точка $D_1$ – середина стороны $AD$. При гомотетии с центром $A$ точка $D_1$ является образом точки $D$. Найдите коэффициент гомотетии. Укажите, какие точки являются образами точек $B$ и $C$ при этой гомотетии.

Найдите коэффициент гомотетии.
Гомотетия с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$ переводит любую точку $X$ в точку $X_1$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{AX_1} = k \cdot \vec{AX}$. По условию задачи, центром гомотетии является точка $A$. Точка $D$ переходит в точку $D_1$. Следовательно, для них выполняется равенство: $\vec{AD_1} = k \cdot \vec{AD}$.

Также по условию дано, что точка $D_1$ — середина стороны $AD$. По определению середины отрезка, для векторов, исходящих из одного из его концов, справедливо равенство: $\vec{AD_1} = \frac{1}{2} \vec{AD}$.

Сравнивая два полученных выражения для вектора $\vec{AD_1}$, мы видим, что: $k \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{AD}$. Отсюда следует, что коэффициент гомотетии $k$ равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $k = \frac{1}{2}$.

Укажите, какие точки являются образами точек B и C при этой гомотетии.
Теперь, зная коэффициент гомотетии $k = \frac{1}{2}$, мы можем найти образы точек $B$ и $C$.

1. Найдем образ точки $B$. Пусть это будет точка $B_1$. По определению гомотетии: $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{AB}$. Это равенство означает, что точка $B_1$ лежит на отрезке $AB$ и делит его пополам, то есть $B_1$ является серединой отрезка $AB$.

2. Найдем образ точки $C$. Пусть это будет точка $C_1$. По определению гомотетии: $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{AC}$. Это равенство означает, что точка $C_1$ лежит на отрезке $AC$ и делит его пополам, то есть $C_1$ является серединой диагонали $AC$.

Таким образом, при данной гомотетии образом точки $B$ является середина стороны $AB$, а образом точки $C$ является середина диагонали $AC$.
Ответ: Образом точки $B$ является середина отрезка $AB$, а образом точки $C$ является середина отрезка $AC$.