Номер 743, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

743. На рисунке 230 изображены прямоугольник $ABCD$ и точки $A_1$ и $D_1$, которые являются образами соответственно точек $A$ и $D$ при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника $ABCD$ при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?

Рис. 230

Для решения задачи введем декартову систему координат. Примем сторону одной клетки сетки за единицу длины. Исходя из рисунка, можно задать координаты вершин исходного прямоугольника $ABCD$: $A(1, 1)$, $B(1, 3)$, $C(2, 3)$, $D(2, 1)$. Координаты образов точек $A$ и $D$ при преобразовании подобия: $A_1(4, 4)$ и $D_1(3, 6)$.

При преобразовании подобия прямоугольник $ABCD$ переходит в подобный ему прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$. Найдем коэффициент подобия $k$. Для этого вычислим длины отрезков $AD$ и $A_1D_1$.
Длина стороны $AD = \sqrt{(2-1)^2 + (1-1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2} = 1$.
Длина ее образа, стороны $A_1D_1 = \sqrt{(3-4)^2 + (6-4)^2} = \sqrt{(-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+4} = \sqrt{5}$.
Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин соответственных сторон: $k = \frac{A_1D_1}{AD} = \frac{\sqrt{5}}{1} = \sqrt{5}$.

Теперь найдем длину стороны $A_1B_1$. Длина стороны $AB$ исходного прямоугольника равна $AB = \sqrt{(1-1)^2 + (3-1)^2} = \sqrt{0^2 + 2^2} = 2$.
Длина ее образа $A_1B_1$ должна быть в $k$ раз больше: $A_1B_1 = k \cdot AB = \sqrt{5} \cdot 2 = 2\sqrt{5}$.
Поскольку преобразование подобия сохраняет углы, сторона $A_1B_1$ должна быть перпендикулярна стороне $A_1D_1$.

Для нахождения координат вершин $B_1$ и $C_1$ воспользуемся векторами.
Вектор $\vec{A_1D_1}$ имеет координаты: $\vec{A_1D_1} = (3-4, 6-4) = (-1, 2)$.
Пусть вектор $\vec{A_1B_1}$ имеет координаты $(x, y)$. Условие перпендикулярности векторов $\vec{A_1D_1}$ и $\vec{A_1B_1}$ означает, что их скалярное произведение равно нулю:
$\vec{A_1D_1} \cdot \vec{A_1B_1} = 0 \implies -1 \cdot x + 2 \cdot y = 0 \implies x = 2y$.
Длина вектора $\vec{A_1B_1}$ должна быть равна $2\sqrt{5}$, то есть $|\vec{A_1B_1}|^2 = (2\sqrt{5})^2 = 20$.
$x^2 + y^2 = 20$.
Подставим $x = 2y$ в уравнение длины: $(2y)^2 + y^2 = 20 \implies 4y^2 + y^2 = 20 \implies 5y^2 = 20 \implies y^2 = 4$.
Отсюда получаем два возможных значения: $y = 2$ и $y = -2$. Это означает, что существует два возможных решения.

Поскольку существует два возможных вектора $\vec{A_1B_1}$, перпендикулярных вектору $\vec{A_1D_1}$ и имеющих требуемую длину, существует два возможных образа прямоугольника, симметричных относительно прямой $A_1D_1$.
Случай 1: Если $y=2$, то $x=2y=4$. Вектор $\vec{A_1B_1} = (4, 2)$. Координаты точки $B_1$ находим как $A_1 + \vec{A_1B_1} = (4+4, 4+2) = (8, 6)$. Координаты точки $C_1$ находим как $D_1 + \vec{A_1B_1} = (3+4, 6+2) = (7, 8)$. Вершины образа: $A_1(4, 4)$, $B_1(8, 6)$, $C_1(7, 8)$, $D_1(3, 6)$.
Случай 2: Если $y=-2$, то $x=2y=-4$. Вектор $\vec{A_1B_1} = (-4, -2)$. Координаты точки $B_1$: $A_1 + \vec{A_1B_1} = (4-4, 4-2) = (0, 2)$. Координаты точки $C_1$: $D_1 + \vec{A_1B_1} = (3-4, 6-2) = (-1, 4)$. Вершины образа: $A_1(4, 4)$, $B_1(0, 2)$, $C_1(-1, 4)$, $D_1(3, 6)$.
Ответ: Прямоугольник с вершинами $A_1(4, 4)$, $B_1(8, 6)$, $C_1(7, 8)$, $D_1(3, 6)$ или прямоугольник с вершинами $A_1(4, 4)$, $B_1(0, 2)$, $C_1(-1, 4)$, $D_1(3, 6)$.

Как было показано в ходе решения, существует два возможных положения для образа искомого прямоугольника.
Ответ: Задача имеет 2 решения.