Номер 736, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

736. Начертите треугольник ABC. Постройте образ этого треугольника при гомотетии с коэффициентом $k$ и центром:

1) в точке B, $k = 3$;

2) в точке C, $k = -\frac{1}{2}$;

3) в точке A, $k = \frac{1}{2}$;

4) в середине стороны AB, $k = \frac{1}{2}$;

5) в середине стороны AC, $k = -\frac{1}{3}$.

Для решения задачи сначала начертим произвольный треугольник ABC. Для каждого пункта построим образ этого треугольника, который обозначим как A'B'C'. По определению гомотетии с центром O и коэффициентом k, образ любой точки M есть такая точка M', что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Центром гомотетии является вершина B, коэффициент $k=3$.

1. Поскольку центр гомотетии совпадает с вершиной B, ее образ B' совпадает с самой точкой B, то есть $B' = B$.
2. Для построения образа вершины A, точки A', проведем луч BA. На этом луче отложим от точки B отрезок BA' так, чтобы его длина была в три раза больше длины отрезка BA: $|BA'| = 3 \cdot |BA|$. Векторно это соответствует равенству $\vec{BA'} = 3 \cdot \vec{BA}$.
3. Аналогично для построения образа вершины C, точки C', проведем луч BC. На этом луче отложим от точки B отрезок BC' так, чтобы его длина была в три раза больше длины отрезка BC: $|BC'| = 3 \cdot |BC|$. Векторно это соответствует равенству $\vec{BC'} = 3 \cdot \vec{BC}$.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'BC' (так как $B'=B$).

Ответ: Образом является треугольник A'BC', где вершина B' совпадает с B, вершина A' лежит на луче BA так, что $|BA'| = 3|BA|$, а вершина C' лежит на луче BC так, что $|BC'| = 3|BC|$.

Центром гомотетии является вершина C, коэффициент $k = -1/2$.

1. Образ вершины C, точки C', совпадает с самой точкой C, так как она является центром гомотетии: $C' = C$.
2. Для построения образа вершины A, точки A', используем векторное соотношение $\vec{CA'} = -\frac{1}{2} \vec{CA}$. Так как коэффициент $k$ отрицателен, точка A' будет лежать на луче, противоположном лучу CA, то есть на отрезке AC. Длина отрезка CA' будет равна $|CA'| = |-\frac{1}{2}| \cdot |CA| = \frac{1}{2} |CA|$. Следовательно, A' является серединой стороны AC.
3. Аналогично для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{CB'} = -\frac{1}{2} \vec{CB}$. Точка B' будет лежать на отрезке BC, и её положение определится условием $|CB'| = \frac{1}{2} |CB|$. Следовательно, B' является серединой стороны BC.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'B'C (так как $C'=C$). Сторона A'B' является средней линией треугольника ABC.

Ответ: Образом является треугольник A'B'C, где вершина C' совпадает с C, вершина A' – середина стороны AC, а вершина B' – середина стороны BC.

Центром гомотетии является вершина A, коэффициент $k = 1/2$.

1. Образ вершины A, точки A', совпадает с самой точкой A, так как она является центром гомотетии: $A' = A$.
2. Для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{AB'} = \frac{1}{2} \vec{AB}$. Так как коэффициент $k$ положителен, точка B' лежит на луче AB (то есть на отрезке AB). Длина отрезка AB' равна $|AB'| = \frac{1}{2} |AB|$. Следовательно, B' является серединой стороны AB.
3. Для построения образа вершины C, точки C', используем соотношение $\vec{AC'} = \frac{1}{2} \vec{AC}$. Точка C' лежит на луче AC (то есть на отрезке AC), и её положение определяется условием $|AC'| = \frac{1}{2} |AC|$. Следовательно, C' является серединой стороны AC.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник AB'C' (так как $A'=A$). Сторона B'C' является средней линией треугольника ABC.

Ответ: Образом является треугольник AB'C', где вершина A' совпадает с A, вершина B' – середина стороны AB, а вершина C' – середина стороны AC.

Центром гомотетии O является середина стороны AB. Обозначим эту точку M. Коэффициент $k = 1/2$.

1. Для построения образа вершины A, точки A', используем соотношение $\vec{MA'} = \frac{1}{2} \vec{MA}$. Точка A' лежит на отрезке MA, и её положение определяется условием $|MA'| = \frac{1}{2} |MA|$. Таким образом, A' является серединой отрезка MA.
2. Для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{MB'} = \frac{1}{2} \vec{MB}$. Точка B' лежит на отрезке MB, и её положение определяется условием $|MB'| = \frac{1}{2} |MB|$. Таким образом, B' является серединой отрезка MB.
3. Для построения образа вершины C, точки C', используем соотношение $\vec{MC'} = \frac{1}{2} \vec{MC}$. Точка C' лежит на отрезке MC, и её положение определяется условием $|MC'| = \frac{1}{2} |MC|$. Таким образом, C' является серединой медианы CM, проведенной из вершины C.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'B'C'.

Ответ: Образом является треугольник A'B'C', где центр гомотетии M – середина AB, вершина A' – середина отрезка AM, вершина B' – середина отрезка BM, а вершина C' – середина медианы CM.

Центром гомотетии O является середина стороны AC. Обозначим эту точку N. Коэффициент $k = -1/3$.

1. Для построения образа вершины A, точки A', используем соотношение $\vec{NA'} = -\frac{1}{3} \vec{NA}$. Так как коэффициент отрицателен, точка A' лежит на луче, противоположном лучу NA (то есть на луче NC), на расстоянии $|NA'| = |-\frac{1}{3}| \cdot |NA| = \frac{1}{3} |NA|$ от точки N.
2. Для построения образа вершины B, точки B', используем соотношение $\vec{NB'} = -\frac{1}{3} \vec{NB}$. Точка B' лежит на луче, противоположном лучу NB, на расстоянии $|NB'| = |-\frac{1}{3}| \cdot |NB| = \frac{1}{3} |NB|$ от точки N.
3. Для построения образа вершины C, точки C', используем соотношение $\vec{NC'} = -\frac{1}{3} \cdot \vec{NC}$. Точка C' лежит на луче, противоположном лучу NC (то есть на луче NA), на расстоянии $|NC'| = |-\frac{1}{3}| \cdot |NC| = \frac{1}{3} |NC|$ от точки N.
4. Соединив точки A', B' и C', получим искомый треугольник A'B'C'.

Ответ: Образом является треугольник A'B'C', где центр гомотетии N – середина AC, вершина A' лежит на отрезке NC так, что $|NA'| = \frac{1}{3} |NA|$, вершина B' лежит на луче, противоположном лучу NB, так, что $|NB'| = \frac{1}{3} |NB|$, а вершина C' лежит на отрезке NA так, что $|NC'| = \frac{1}{3} |NC|$.