Номер 737, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

737. Начертите треугольник ABC. Найдите точку пересечения его медиан.

Постройте образ этого треугольника при гомотетии с центром в точке пересечения его медиан и коэффициентом:

1) $k=2$;

2) $k=\frac{1}{2}$;

3) $k=-\frac{1}{2}$.

Сначала начертим произвольный треугольник $ABC$. Для нахождения точки пересечения его медиан (центроида), найдем середины его сторон. Пусть $A_1$ — середина стороны $BC$, $B_1$ — середина стороны $AC$, а $C_1$ — середина стороны $AB$. Проведем отрезки (медианы) $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Точка их пересечения, которую мы обозначим $M$, является центроидом треугольника. Эта точка $M$ будет центром гомотетии.

Образом треугольника $ABC$ при гомотетии будет треугольник $A'B'C'$, где точки $A'$, $B'$, $C'$ являются образами вершин $A$, $B$, $C$ соответственно. Для построения образа $X'$ точки $X$ с центром гомотетии в точке $M$ и коэффициентом $k$ используется векторное равенство $\vec{MX'} = k \cdot \vec{MX}$.

1) k = 2;

Для построения образа $A'B'C'$ нужно построить образы вершин $A$, $B$ и $C$.
Поскольку $k=2 > 0$, образ каждой вершины будет лежать на луче, выходящем из центра $M$ и проходящем через эту вершину.
Точка $A'$ строится на луче $MA$ так, что расстояние $MA'$ в два раза больше расстояния $MA$. Векторное равенство для этого построения: $\vec{MA'} = 2 \cdot \vec{MA}$.
Аналогично строятся точка $B'$ на луче $MB$ ($\vec{MB'} = 2 \cdot \vec{MB}$) и точка $C'$ на луче $MC$ ($\vec{MC'} = 2 \cdot \vec{MC}$).
Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$, который подобен исходному с коэффициентом 2.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, вершины которого лежат на лучах $MA$, $MB$ и $MC$ соответственно, при этом $MA' = 2 \cdot MA$, $MB' = 2 \cdot MB$, $MC' = 2 \cdot MC$.

2) k = 1/2;

При коэффициенте гомотетии $k = \frac{1}{2}$, образы вершин также будут лежать на лучах $MA$, $MB$, $MC$.
Точка $A'$ будет лежать на отрезке $MA$ так, что $MA' = \frac{1}{2} MA$. Иначе говоря, $A'$ — это середина отрезка $MA$. Векторное равенство: $\vec{MA'} = \frac{1}{2} \cdot \vec{MA}$.
Аналогично, точка $B'$ является серединой отрезка $MB$, а точка $C'$ — серединой отрезка $MC$.
Соединив точки $A'$, $B'$ и $C'$, получаем искомый треугольник $A'B'C'$, подобный исходному с коэффициентом $\frac{1}{2}$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, вершины которого являются серединами отрезков $MA$, $MB$ и $MC$.

3) k = -1/2.

Так как коэффициент гомотетии $k = -\frac{1}{2}$ отрицательный, образы вершин будут лежать на лучах, противоположных лучам $MA$, $MB$ и $MC$.
Точка $A'$ строится на луче, противоположном лучу $MA$, так, что расстояние $MA'$ равно половине расстояния $MA$. Векторное равенство: $\vec{MA'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MA}$.
Аналогично строятся точки $B'$ ($\vec{MB'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MB}$) и $C'$ ($\vec{MC'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MC}$).
Вспомним свойство медиан треугольника: центроид $M$ делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Для медианы $AA_1$ это означает, что $AM = 2 \cdot MA_1$. Векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ противоположно направлены, поэтому $\vec{MA} = -2\vec{MA_1}$, откуда следует, что $\vec{MA_1} = -\frac{1}{2}\vec{MA}$.
Сравнивая это равенство с условием гомотетии для точки $A'$, $\vec{MA'} = -\frac{1}{2} \cdot \vec{MA}$, мы заключаем, что точка $A'$ совпадает с точкой $A_1$ — серединой стороны $BC$.
Аналогично, точка $B'$ совпадает с $B_1$ (серединой $AC$), а точка $C'$ совпадает с $C_1$ (серединой $AB$).
Следовательно, искомый треугольник $A'B'C'$ — это треугольник, вершинами которого являются середины сторон треугольника $ABC$.

Ответ: Треугольник $A'B'C'$, вершины которого являются серединами сторон $BC$, $AC$ и $AB$ треугольника $ABC$.