Номер 6, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

6. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?

5. Какие фигуры называют подобными?

Две геометрические фигуры называются подобными, если они имеют одинаковую форму, но могут различаться в размерах. Более строго, одна фигура получается из другой преобразованием подобия. Преобразование подобия (или просто подобие) — это преобразование, при котором для любых двух точек $A$ и $B$ фигуры и их образов $A'$ и $B'$ отношение длин отрезков $\frac{A'B'}{AB}$ является постоянной величиной. Эта величина $k$ называется коэффициентом подобия ($k>0$). Таким образом, для любых точек $A$ и $B$ выполняется равенство: $A'B' = k \cdot AB$.
Для многоугольников это означает, что их соответственные углы равны, а соответственные стороны пропорциональны. Например, два многоугольника $A_1A_2...A_n$ и $B_1B_2...B_n$ подобны, если:
1) их соответственные углы равны: $\angle A_1 = \angle B_1$, $\angle A_2 = \angle B_2$, ..., $\angle A_n = \angle B_n$;
2) их соответственные стороны пропорциональны: $\frac{B_1B_2}{A_1A_2} = \frac{B_2B_3}{A_2A_3} = \dots = \frac{B_nB_1}{A_nA_1} = k$.
Примерами подобных фигур являются любые два квадрата, любые два круга или любые два равносторонних треугольника.

Ответ: Две фигуры называются подобными, если они переводятся друг в друга преобразованием подобия, то есть существует преобразование, при котором все расстояния между точками изменяются в одно и то же число раз (коэффициент подобия). Для многоугольников это означает равенство соответственных углов и пропорциональность соответственных сторон.

6. Чему равно отношение площадей подобных многоугольников?

Отношение площадей двух подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.
Пусть даны два подобных многоугольника $M_1$ и $M_2$ с площадями $S_1$ и $S_2$ соответственно. Пусть $k$ — коэффициент их подобия. Коэффициент подобия — это отношение длин соответственных сторон. Например, если $a_1$ и $a_2$ — длины соответственных сторон многоугольников $M_1$ и $M_2$, то $k = \frac{a_2}{a_1}$.
Тогда отношение их площадей выражается формулой: $$ \frac{S_2}{S_1} = k^2 $$ Или, что то же самое: $$ \frac{S_2}{S_1} = \left(\frac{a_2}{a_1}\right)^2 $$ Идея доказательства: Любой многоугольник можно разбить на треугольники (триангулировать). Если два многоугольника подобны с коэффициентом $k$, то их можно разбить на соответственные подобные треугольники с тем же коэффициентом подобия $k$. Отношение площадей двух подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Поскольку площади многоугольников являются суммами площадей составляющих их треугольников, то и отношение площадей самих многоугольников будет равно $k^2$.
Например, если стороны одного квадрата в 3 раза больше сторон другого квадрата ($k=3$), то его площадь будет в $3^2 = 9$ раз больше.

Ответ: Отношение площадей подобных многоугольников равно квадрату коэффициента подобия.