Номер 738, страница 183 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

738. Начертите параллелограмм $ABCD$. Точку пересечения его диагоналей обозначьте $O$. Постройте образ этого параллелограмма при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом: 1) $k = 2$; 2) $k = -2$.

Сначала начертим произвольный параллелограмм $ABCD$. Проведем его диагонали $AC$ и $BD$ и точку их пересечения обозначим $O$. Эта точка является центром симметрии параллелограмма и, по условию задачи, центром гомотетии.

Гомотетия (или преобразование подобия) с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, при котором каждая точка $P$ плоскости переходит в такую точку $P'$, что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

Для построения образа параллелограмма $ABCD$ необходимо построить образы его вершин $A, B, C, D$ и соединить их отрезками.

При $k=2$ коэффициент гомотетии положителен. Это означает, что образ каждой точки будет лежать на луче, выходящем из центра гомотетии $O$ и проходящем через исходную точку. Расстояние от центра до образа будет в 2 раза больше расстояния от центра до исходной точки.

Построим образы вершин A, B, C, D, обозначив их соответственно A', B', C', D'.

1. Образ вершины $A$ — точка $A'$, для которой выполняется равенство $\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OA}$. Чтобы построить точку $A'$, нужно на луче $OA$ отложить от точки $O$ отрезок $OA'$, длина которого в два раза больше длины отрезка $OA$.
2. Образ вершины $B$ — точка $B'$, для которой $\vec{OB'} = 2 \cdot \vec{OB}$. Точка $B'$ строится аналогично на луче $OB$.
3. Образ вершины $C$ — точка $C'$, для которой $\vec{OC'} = 2 \cdot \vec{OC}$. Точка $C'$ строится на луче $OC$.
4. Образ вершины $D$ — точка $D'$, для которой $\vec{OD'} = 2 \cdot \vec{OD}$. Точка $D'$ строится на луче $OD$.

Соединив последовательно точки $A', B', C', D'$, мы получим параллелограмм $A'B'C'D'$, который является образом исходного параллелограмма. Стороны нового параллелограмма будут параллельны сторонам исходного, а их длины будут в 2 раза больше.

Ответ: Образом параллелограмма $ABCD$ является параллелограмм $A'B'C'D'$, вершины которого лежат на продолжениях отрезков $OA, OB, OC, OD$ за точки $A, B, C, D$ соответственно, так что $OA' = 2OA$, $OB' = 2OB$, $OC' = 2OC$, $OD' = 2OD$.

При $k=-2$ коэффициент гомотетии отрицателен. Это означает, что образ каждой точки будет лежать на луче, дополнительном к лучу, выходящему из центра $O$ и проходящему через исходную точку. То есть, образ точки будет находиться с противоположной стороны от центра $O$. Абсолютное значение расстояния от центра до образа будет в $|-2| = 2$ раза больше.

Построим образы вершин A, B, C, D, обозначив их A'', B'', C'', D''.

1. Образ вершины $A$ — точка $A''$, для которой $\vec{OA''} = -2 \cdot \vec{OA}$. Вектор $\vec{OA''}$ сонаправлен с вектором $\vec{OC}$ (так как $\vec{OC} = -\vec{OA}$). Точка $A''$ лежит на луче $OC$ на расстоянии $2 \cdot OA$ от точки $O$.
2. Образ вершины $B$ — точка $B''$, для которой $\vec{OB''} = -2 \cdot \vec{OB}$. Точка $B''$ лежит на луче $OD$ на расстоянии $2 \cdot OB$ от точки $O$.
3. Образ вершины $C$ — точка $C''$, для которой $\vec{OC''} = -2 \cdot \vec{OC}$. Точка $C''$ лежит на луче $OA$ на расстоянии $2 \cdot OC$ от точки $O$.
4. Образ вершины $D$ — точка $D''$, для которой $\vec{OD''} = -2 \cdot \vec{OD}$. Точка $D''$ лежит на луче $OB$ на расстоянии $2 \cdot OD$ от точки $O$.

Соединив точки $A'', B'', C'', D''$, мы получим параллелограмм $A''B''C''D''$.

Можно заметить, что полученный параллелограмм совпадает с параллелограммом $A'B'C'D'$ из пункта 1). Докажем это. Так как $O$ — центр симметрии параллелограмма $ABCD$, то $\vec{OC} = -\vec{OA}$ и $OC = OA$.

Рассмотрим образ вершины $C$ при $k=-2$, точку $C''$: $\vec{OC''} = -2 \cdot \vec{OC} = -2 \cdot (-\vec{OA}) = 2 \cdot \vec{OA}$. Из пункта 1) мы знаем, что $\vec{OA'} = 2 \cdot \vec{OA}$. Следовательно, $\vec{OC''} = \vec{OA'}$, что означает совпадение точек $C''$ и $A'$.

Аналогично доказывается, что точка $A''$ совпадает с $C'$, точка $B''$ совпадает с $D'$, а точка $D''$ совпадает с $B'$. Таким образом, множество вершин $\{A'', B'', C'', D''\}$ идентично множеству вершин $\{A', B', C', D'\}$, и, следовательно, параллелограммы, построенные в обоих случаях, совпадают.

Ответ: Образом параллелограмма $ABCD$ является параллелограмм $A''B''C''D''$, который полностью совпадает с параллелограммом $A'B'C'D'$, построенным в пункте 1).