Номер 733, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Практические задания

733. Постройте образ отрезка AB (рис. 226) при гомотетии с центром O и коэффициентом: 1) $k = 2$; 2) $k = -\frac{1}{2}$.

Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ — это преобразование, которое переводит каждую точку $M$ в точку $M'$, так, что выполняется векторное равенство $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Чтобы построить образ отрезка $AB$, необходимо построить образы его конечных точек, $A$ и $B$, а затем соединить их отрезком. Введем систему координат с началом в точке $O$, как показано на рисунке. Примем длину стороны клетки за единицу. Тогда точки имеют следующие координаты: центр гомотетии $O(0, 0)$, точка $A(1, 3)$ и точка $B(4, 1)$.

Координаты $(x', y')$ образа точки $(x, y)$ при гомотетии с центром в начале координат и коэффициентом $k$ вычисляются по формулам: $x' = kx$, $y' = ky$.

Для построения образа отрезка $AB$ найдем образы его концов — точек $A$ и $B$. Пусть их образами будут точки $A'$ и $B'$.

Для точки $A(1, 3)$ координаты ее образа $A'(x_{A'}, y_{A'})$ вычисляются следующим образом:

$x_{A'} = k \cdot x_A = 2 \cdot 1 = 2$

$y_{A'} = k \cdot y_A = 2 \cdot 3 = 6$

Следовательно, координаты точки $A'$ — $(2, 6)$. Геометрически это означает, что точка $A'$ лежит на луче $OA$ на расстоянии $|OA'| = 2 \cdot |OA|$ от центра $O$.

Для точки $B(4, 1)$ координаты ее образа $B'(x_{B'}, y_{B'})$ вычисляются так:

$x_{B'} = k \cdot x_B = 2 \cdot 4 = 8$

$y_{B'} = k \cdot y_B = 2 \cdot 1 = 2$

Следовательно, координаты точки $B'$ — $(8, 2)$. Геометрически это означает, что точка $B'$ лежит на луче $OB$ на расстоянии $|OB'| = 2 \cdot |OB|$ от центра $O$.

Соединив точки $A'(2, 6)$ и $B'(8, 2)$, получаем отрезок $A'B'$, который и является искомым образом отрезка $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A'B'$ с концами в точках $A'(2, 6)$ и $B'(8, 2)$.

Найдем образы концов отрезка, точек $A$ и $B$. Пусть их образами будут точки $A''$ и $B''$.

Для точки $A(1, 3)$ координаты ее образа $A''(x_{A''}, y_{A''})$:

$x_{A''} = k \cdot x_A = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$

$y_{A''} = k \cdot y_A = -\frac{1}{2} \cdot 3 = -1.5$

Таким образом, координаты точки $A''$ — $(-0.5, -1.5)$. Поскольку коэффициент $k$ отрицателен, точка $A''$ лежит на луче, противоположном лучу $OA$, на расстоянии $|OA''| = |-\frac{1}{2}| \cdot |OA| = \frac{1}{2}|OA|$ от центра $O$.

Для точки $B(4, 1)$ координаты ее образа $B''(x_{B''}, y_{B''})$:

$x_{B''} = k \cdot x_B = -\frac{1}{2} \cdot 4 = -2$

$y_{B''} = k \cdot y_B = -\frac{1}{2} \cdot 1 = -0.5$

Таким образом, координаты точки $B''$ — $(-2, -0.5)$. Точка $B''$ лежит на луче, противоположном лучу $OB$, на расстоянии $|OB''| = |-\frac{1}{2}| \cdot |OB| = \frac{1}{2}|OB|$ от центра $O$.

Соединив точки $A''(-0.5, -1.5)$ и $B''(-2, -0.5)$, получаем отрезок $A''B''$, который является искомым образом отрезка $AB$.

Ответ: Образом отрезка $AB$ является отрезок $A''B''$ с концами в точках $A''(-0.5, -1.5)$ и $B''(-2, -0.5)$.