Номер 4, страница 182 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

4. Сформулируйте свойства гомотетии.

Гомотетия (или гомотетическое преобразование) с центром O и коэффициентом k, не равным нулю, — это преобразование плоскости или пространства, при котором каждая точка M переходит в такую точку M', что выполняется векторное равенство: $\vec{OM'} = k \cdot \vec{OM}$.

Основные свойства гомотетии:

Преобразование прямых. Гомотетия переводит любую прямую в прямую, параллельную исходной. Если прямая проходит через центр гомотетии, она переходит сама в себя.

Сохранение углов. Гомотетия сохраняет величину углов. Угол между двумя прямыми равен углу между их образами.

Подобие фигур. Любая фигура при гомотетии переходит в подобную ей фигуру. Соответствующие стороны фигур-образов параллельны соответствующим сторонам исходных фигур.

Изменение расстояний. Расстояние между любыми двумя точками A и B при гомотетии с коэффициентом k изменяется в $|k|$ раз. Если A' и B' — образы точек A и B, то длина отрезка A'B' равна $A'B' = |k| \cdot AB$.

Изменение площадей. Площадь любой плоской фигуры при гомотетии с коэффициентом k изменяется в $k^2$ раз. Если S — площадь исходной фигуры, а S' — площадь ее образа, то $S' = k^2 \cdot S$.

Изменение объемов. В пространстве объем любого тела при гомотетии с коэффициентом k изменяется в $|k|^3$ раз. Если V — объем исходного тела, а V' — объем его образа, то $V' = |k|^3 \cdot V$.

Обратное преобразование. Преобразование, обратное гомотетии с центром O и коэффициентом k, является гомотетией с тем же центром O и коэффициентом $\frac{1}{k}$.

Композиция гомотетий. Композиция (последовательное применение) двух гомотетий с одним и тем же центром O и коэффициентами $k_1$ и $k_2$ является гомотетией с тем же центром O и коэффициентом, равным произведению коэффициентов: $k = k_1 \cdot k_2$.

Частные случаи. Если $k = 1$, гомотетия является тождественным преобразованием (каждая точка остается на месте). Если $k = -1$, гомотетия является центральной симметрией относительно центра гомотетии O.

Ответ: Свойства гомотетии заключаются в том, что она является преобразованием подобия, которое переводит прямые в параллельные им прямые, сохраняет углы, изменяет расстояния в $|k|$ раз, площади в $k^2$ раз и объемы в $|k|^3$ раз (где $k$ — коэффициент гомотетии). Также существуют свойства, описывающие обратное преобразование и композицию гомотетий.