Номер 744, страница 184 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

744. На рисунке 231 изображены прямоугольник ABCD и точки $A_1$ и $C_1$, являющиеся образами соответственно точек $A$ и $C$ при преобразовании подобия. Постройте образ прямоугольника ABCD при этом преобразовании. Сколько решений имеет задача?

Рис. 230

Рис. 231

Преобразование подобия переводит прямоугольник $ABCD$ в подобный ему прямоугольник $A_1B_1C_1D_1$. Диагональ $AC$ исходного прямоугольника переходит в диагональ $A_1C_1$ нового.

Введем систему координат, приняв за единицу измерения сторону клетки. Определим координаты заданных точек: $A(2, 4)$, $C(6, 2)$, $A_1(1, 1)$, $C_1(3, 2)$.

Найдем длины диагоналей $AC$ и $A_1C_1$: $|AC| = \sqrt{(6-2)^2 + (2-4)^2} = \sqrt{4^2 + (-2)^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. $|A_1C_1| = \sqrt{(3-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$.

Коэффициент подобия $k$ равен отношению длин образов к длинам прообразов: $k = \frac{|A_1C_1|}{|AC|} = \frac{\sqrt{5}}{2\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Найдем длины сторон исходного прямоугольника $ABCD$: $|AB| = 6 - 2 = 4$. $|AD| = 4 - 2 = 2$.

Длины сторон искомого прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ будут в $k$ раз меньше: $|A_1B_1| = k \cdot |AB| = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$. $|A_1D_1| = k \cdot |AD| = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

Для построения прямоугольника $A_1B_1C_1D_1$ необходимо найти координаты вершин $B_1$ и $D_1$. В прямоугольнике диагональ является гипотенузой для прямоугольного треугольника, образованного двумя смежными сторонами. Таким образом, для треугольника $A_1B_1C_1$ выполняется теорема Пифагора: $|A_1B_1|^2 + |B_1C_1|^2 = |A_1C_1|^2$. Поскольку $B_1C_1$ является стороной прямоугольника, то $|B_1C_1| = |A_1D_1| = 1$. Проверим: $2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5 = (\sqrt{5})^2 = |A_1C_1|^2$. Равенство верно.

Вектор диагонали $\vec{A_1C_1}$ является суммой векторов смежных сторон: $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1}$. Известно, что $\vec{A_1C_1} = (3-1, 2-1) = (2, 1)$. Пусть $\vec{A_1B_1} = (x, y)$ и $\vec{A_1D_1} = (z, w)$. Тогда:

• $|\vec{A_1B_1}| = \sqrt{x^2+y^2} = 2 \implies x^2+y^2 = 4$.
• $|\vec{A_1D_1}| = \sqrt{z^2+w^2} = 1 \implies z^2+w^2 = 1$.
• $\vec{A_1B_1} \perp \vec{A_1D_1} \implies xz + yw = 0$.
• $\vec{A_1C_1} = \vec{A_1B_1} + \vec{A_1D_1} \implies (2, 1) = (x+z, y+w)$. Отсюда $z = 2-x$ и $w = 1-y$.

Подставим $z$ и $w$ в условие перпендикулярности: $x(2-x) + y(1-y) = 0 \implies 2x - x^2 + y - y^2 = 0$. Зная, что $x^2+y^2=4$, получаем: $2x + y - (x^2+y^2) = 0 \implies 2x + y - 4 = 0$, откуда $y = 4-2x$.

Теперь подставим $y$ в уравнение длины вектора $x^2+y^2=4$: $x^2 + (4-2x)^2 = 4$ $x^2 + 16 - 16x + 4x^2 = 4$ $5x^2 - 16x + 12 = 0$

Решим квадратное уравнение: $D = (-16)^2 - 4 \cdot 5 \cdot 12 = 256 - 240 = 16 = 4^2$. $x_1 = \frac{16 - 4}{2 \cdot 5} = \frac{12}{10} = 1,2$. $x_2 = \frac{16 + 4}{2 \cdot 5} = \frac{20}{10} = 2$.

Получили два возможных решения.

Постройте образ прямоугольника ABCD при этом преобразовании.

Решение 1. Если $x = 2$, то $y = 4 - 2(2) = 0$. Тогда $\vec{A_1B_1} = (2, 0)$. $\vec{A_1D_1} = (2-x, 1-y) = (2-2, 1-0) = (0, 1)$. Координаты вершин: $A_1 = (1, 1)$ $B_1 = A_1 + \vec{A_1B_1} = (1, 1) + (2, 0) = (3, 1)$ $D_1 = A_1 + \vec{A_1D_1} = (1, 1) + (0, 1) = (1, 2)$ $C_1 = (3, 2)$ (соответствует условию) Получили прямоугольник с вершинами $A_1(1,1)$, $B_1(3,1)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,2)$.

Решение 2. Если $x = 1,2$, то $y = 4 - 2(1,2) = 4 - 2,4 = 1,6$. Тогда $\vec{A_1B_1} = (1,2; 1,6)$. $\vec{A_1D_1} = (2-x, 1-y) = (2-1,2; 1-1,6) = (0,8; -0,6)$. Координаты вершин: $A_1 = (1, 1)$ $B_1 = A_1 + \vec{A_1B_1} = (1, 1) + (1,2; 1,6) = (2,2; 2,6)$ $D_1 = A_1 + \vec{A_1D_1} = (1, 1) + (0,8; -0,6) = (1,8; 0,4)$ $C_1 = (3, 2)$ (соответствует условию, так как $B_1+D_1-A_1 = (2,2+1,8-1; 2,6+0,4-1)=(3,2)$). Получили прямоугольник с вершинами $A_1(1,1)$, $B_1(2,2; 2,6)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,8; 0,4)$.

Ответ: Существуют два прямоугольника, удовлетворяющие условиям. Первый имеет вершины $A_1(1,1)$, $B_1(3,1)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,2)$. Второй имеет вершины $A_1(1,1)$, $B_1(2,2; 2,6)$, $C_1(3,2)$, $D_1(1,8; 0,4)$.

Сколько решений имеет задача?

Как показано выше, существует два набора координат для вершин $B_1$ и $D_1$, которые удовлетворяют всем условиям задачи. Геометрически это означает, что на диагонали $A_1C_1$ как на диаметре можно построить окружность. Вершины $B_1$ и $D_1$ должны лежать на этой окружности. Однако, длины сторон $A_1B_1$ и $A_1D_1$ фиксированы. Вершина $B_1$ должна находиться на пересечении двух окружностей: одна с центром в $A_1$ и радиусом $R_1=|A_1B_1|=2$, другая с центром в $C_1$ и радиусом $R_2=|B_1C_1|=1$. Так как расстояние между центрами $|A_1C_1|=\sqrt{5}$ удовлетворяет условию $|R_1-R_2| < |A_1C_1| < R_1+R_2$ (т.е. $1 < \sqrt{5} < 3$), то эти окружности пересекаются в двух точках. Каждая точка пересечения дает одно возможное положение для вершины $B_1$, что однозначно определяет положение вершины $D_1$. Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет 2 решения.