Номер 752, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

752. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ (рис. 236). Найдите коэффициент гомотетии с центром:

1) в точке $B$, при которой точка $B_1$ является образом точки $M$;

2) в точке $M$, при которой точка $A_1$ является образом точки $A$;

3) в точке $C$, при которой точка $M$ является образом точки $C_1$.

Рис. 236

Медианы треугольника $ABC$ ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$) пересекаются в одной точке $M$, которая называется центроидом. Свойство центроида заключается в том, что он делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. То есть: $AM : MA_1 = 2:1$ $BM : MB_1 = 2:1$ $CM : MC_1 = 2:1$

Из этих соотношений можно выразить длины отрезков: $BM = \frac{2}{3}BB_1$, $MB_1 = \frac{1}{3}BB_1$, следовательно, $BB_1 = \frac{3}{2}BM$. $AM = \frac{2}{3}AA_1$, $MA_1 = \frac{1}{3}AA_1$, следовательно, $MA_1 = \frac{1}{2}AM$. $CM = \frac{2}{3}CC_1$, $MC_1 = \frac{1}{3}CC_1$, следовательно, $CC_1 = \frac{3}{2}CM$.

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ отображает точку $P$ в точку $P'$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$. Коэффициент $k$ можно найти как отношение длин векторов, учитывая их направление.

1) Найдем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $B$, при которой точка $B_1$ является образом точки $M$. Центр гомотетии — $B$, прообраз — $M$, образ — $B_1$. По определению гомотетии, $\vec{BB_1} = k \cdot \vec{BM}$. Точки $B$, $M$ и $B_1$ лежат на одной прямой (медиане $BB_1$). Векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{BM}$ сонаправлены, так как точка $M$ лежит между $B$ и $B_1$. Следовательно, коэффициент $k$ будет положительным. Значение $k$ равно отношению длин: $k = \frac{|BB_1|}{|BM|}$. Используя свойство медиан, мы знаем, что $|BM| = \frac{2}{3}|BB_1|$, откуда $|BB_1| = \frac{3}{2}|BM|$. Подставим это в формулу для $k$: $k = \frac{\frac{3}{2}|BM|}{|BM|} = \frac{3}{2}$.
Ответ: $1,5$.

2) Найдем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $M$, при которой точка $A_1$ является образом точки $A$. Центр гомотетии — $M$, прообраз — $A$, образ — $A_1$. По определению гомотетии, $\vec{MA_1} = k \cdot \vec{MA}$. Точки $A$, $M$ и $A_1$ лежат на одной прямой (медиане $AA_1$). Векторы $\vec{MA_1}$ и $\vec{MA}$ противоположно направлены, так как точка $M$ лежит между $A$ и $A_1$. Следовательно, коэффициент $k$ будет отрицательным. Модуль коэффициента $|k|$ равен отношению длин: $|k| = \frac{|MA_1|}{|MA|}$. Из свойства медиан $|AM| : |MA_1| = 2:1$, что означает $|MA| = 2|MA_1|$. Подставим это в формулу для $|k|$: $|k| = \frac{|MA_1|}{2|MA_1|} = \frac{1}{2}$. Так как $k$ — отрицательное число, то $k = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $-0,5$.

3) Найдем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $C$, при которой точка $M$ является образом точки $C_1$. Центр гомотетии — $C$, прообраз — $C_1$, образ — $M$. По определению гомотетии, $\vec{CM} = k \cdot \vec{CC_1}$. Точки $C$, $M$ и $C_1$ лежат на одной прямой (медиане $CC_1$). Векторы $\vec{CM}$ и $\vec{CC_1}$ сонаправлены, так как точка $M$ лежит между $C$ и $C_1$. Следовательно, коэффициент $k$ будет положительным. Значение $k$ равно отношению длин: $k = \frac{|CM|}{|CC_1|}$. Используя свойство медиан, мы знаем, что $|CM| = \frac{2}{3}|CC_1|$. Подставим это в формулу для $k$: $k = \frac{\frac{2}{3}|CC_1|}{|CC_1|} = \frac{2}{3}$.
Ответ: $\frac{2}{3}$.