Номер 753, страница 186 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Рис. 236

753. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $M$ (см. рис. 236). Укажите коэффициент и центр гомотетии, при которой треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$.

752.

По свойству медиан треугольника, они пересекаются в одной точке $M$ (центроид), которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для медиан $AA_1, BB_1, CC_1$ выполняются следующие соотношения:

• $AM : MA_1 = 2 : 1$
• $BM : MB_1 = 2 : 1$
• $CM : MC_1 = 2 : 1$

Из этих пропорций следуют равенства для длин отрезков:

• $|AM| = 2|MA_1|$, откуда $|MA_1| = \frac{1}{3}|AA_1|$ и $|AM| = \frac{2}{3}|AA_1|$
• $|BM| = 2|MB_1|$, откуда $|MB_1| = \frac{1}{3}|BB_1|$ и $|BM| = \frac{2}{3}|BB_1|$
• $|CM| = 2|MC_1|$, откуда $|MC_1| = \frac{1}{3}|CC_1|$ и $|CM| = \frac{2}{3}|CC_1|$

Гомотетия с центром в точке $O$ и коэффициентом $k$ переводит точку $P$ в точку $P'$, так что выполняется векторное равенство $\vec{OP'} = k \cdot \vec{OP}$.

1)

Ищем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $B$, при которой точка $B_1$ является образом точки $M$.

Согласно определению гомотетии, $\vec{BB_1} = k \cdot \vec{BM}$.

Точки $B, M, B_1$ лежат на одной прямой (медиане $BB_1$). Векторы $\vec{BM}$ и $\vec{BB_1}$ направлены в одну и ту же сторону, значит, коэффициент $k$ положителен.

Коэффициент $k$ равен отношению длин векторов: $k = \frac{|\vec{BB_1}|}{|\vec{BM}|} = \frac{|BB_1|}{|BM|}$.

Из свойства медиан известно, что $|BM| = \frac{2}{3}|BB_1|$.

Подставляя это в формулу для $k$, получаем: $k = \frac{|BB_1|}{\frac{2}{3}|BB_1|} = \frac{1}{2/3} = \frac{3}{2}$.

Ответ: $k = \frac{3}{2}$.

2)

Ищем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $M$, при которой точка $A_1$ является образом точки $A$.

Согласно определению гомотетии, $\vec{MA_1} = k \cdot \vec{MA}$.

Точки $A, M, A_1$ лежат на одной прямой (медиане $AA_1$). Центр гомотетии $M$ находится между точкой $A$ и ее образом $A_1$, поэтому векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ направлены в противоположные стороны. Это означает, что коэффициент $k$ отрицателен.

Модуль коэффициента $|k|$ равен отношению длин отрезков: $|k| = \frac{|MA_1|}{|MA|}$.

Из свойства медиан $|MA| = 2|MA_1|$.

Тогда $|k| = \frac{|MA_1|}{2|MA_1|} = \frac{1}{2}$.

Поскольку $k$ отрицателен, $k = -\frac{1}{2}$.

Ответ: $k = -\frac{1}{2}$.

3)

Ищем коэффициент гомотетии $k$ с центром в точке $C$, при которой точка $M$ является образом точки $C_1$.

Согласно определению гомотетии, $\vec{CM} = k \cdot \vec{CC_1}$.

Точки $C, M, C_1$ лежат на одной прямой (медиане $CC_1$). Точка $M$ (образ) лежит между центром $C$ и прообразом $C_1$, поэтому векторы $\vec{CM}$ и $\vec{CC_1}$ сонаправлены. Следовательно, коэффициент $k$ положителен.

Коэффициент $k$ равен отношению длин: $k = \frac{|CM|}{|CC_1|}$.

Из свойства медиан $|CM| = \frac{2}{3}|CC_1|$.

Тогда $k = \frac{\frac{2}{3}|CC_1|}{|CC_1|} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $k = \frac{2}{3}$.

753.

Требуется найти центр и коэффициент гомотетии, при которой треугольник $A_1B_1C_1$ является образом треугольника $ABC$.

Пусть $O$ — центр искомой гомотетии, а $k$ — её коэффициент. При такой гомотетии образом вершины $A$ треугольника $ABC$ должна быть одна из вершин треугольника $A_1B_1C_1$, образом $B$ — другая, и образом $C$ — третья. Логично предположить, что гомотетия переводит $A \rightarrow A_1$, $B \rightarrow B_1$, $C \rightarrow C_1$.

Если это так, то центр гомотетии $O$ должен лежать на прямых, соединяющих прообразы и их образы, то есть на прямых $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$.

Эти прямые являются медианами треугольника $ABC$ и пересекаются в одной точке — центроиде $M$. Следовательно, центром гомотетии является точка $M$.

Найдем коэффициент гомотетии $k$. Для этого рассмотрим пару соответственных точек, например, $A$ и $A_1$. По определению гомотетии с центром $M$: $\vec{MA_1} = k \cdot \vec{MA}$.

Это условие полностью совпадает с условием пункта 2) предыдущей задачи.

Векторы $\vec{MA}$ и $\vec{MA_1}$ противоположно направлены, так как точка $M$ лежит между $A$ и $A_1$. Значит, коэффициент $k$ отрицателен.

Из свойства медиан $|AM| : |MA_1| = 2:1$, или $|AM| = 2|MA_1|$.

Модуль коэффициента равен $|k| = \frac{|MA_1|}{|AM|} = \frac{|MA_1|}{2|MA_1|} = \frac{1}{2}$.

Так как $k < 0$, получаем $k = -\frac{1}{2}$.

Аналогично можно проверить для других вершин, и результат будет тем же.

Ответ: центр гомотетии — точка $M$ (точка пересечения медиан), коэффициент гомотетии $k = -\frac{1}{2}$.