Страница 185 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

747. На рисунке 233 изображены две параллельные прямые a и b. Постройте центр гомотетии, при которой прямая b является образом прямой a с коэффициентом: 1) $k = 2$; 2) $k = \frac{1}{2}$; 3) $k = -\frac{1}{2}$. Сколько решений имеет задача?

Рис. 232

Рис. 233

Центр гомотетии $O$, переводящей прямую $a$ в параллельную ей прямую $b$ с коэффициентом $k \neq 1$, не является единственной точкой. Геометрическим местом таких центров является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$. Положение этой прямой определяется условием, что для любой точки $O$ на ней отношение расстояний до прямых $b$ и $a$ равно модулю коэффициента гомотетии: $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |k|$.

Если $k > 0$, центр гомотетии $O$ находится вне полосы, образованной прямыми $a$ и $b$.

Если $k < 0$, центр гомотетии $O$ находится между прямыми $a$ и $b$.

Для построения этой прямой центров $c$, проведем перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, который пересекает их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно. На этом перпендикуляре найдем точку $P_c$, принадлежащую искомой прямой центров, и проведем через нее прямую, параллельную $a$ и $b$.

1) $k = 2$

Так как $k = 2 > 0$, центр гомотетии находится вне полосы между прямыми $a$ и $b$. Отношение расстояний от центра $O$ до прямых должно быть $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |2| = 2$. Это означает, что прямая $a$ является средней линией между прямой $b$ и искомой прямой центров $c$.
Построение:
1. Проведем произвольный перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, пересекающий их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно.
2. На продолжении отрезка $P_b P_a$ за точку $P_a$ отложим отрезок $P_a P_c$, равный отрезку $P_b P_a$.
3. Через точку $P_c$ проведем прямую $c$, параллельную прямым $a$ и $b$. Эта прямая и есть искомое множество центров гомотетии.

Ответ: Множеством центров гомотетии является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$, для которой прямая $a$ является средней линией между $b$ и $c$.

2) $k = \frac{1}{2}$

Так как $k = 1/2 > 0$, центр гомотетии находится вне полосы между $a$ и $b$. Отношение расстояний $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Это означает, что прямая $b$ является средней линией между прямой $a$ и искомой прямой центров $c$.
Построение:
1. Проведем произвольный перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, пересекающий их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно.
2. На продолжении отрезка $P_a P_b$ за точку $P_b$ отложим отрезок $P_b P_c$, равный отрезку $P_a P_b$.
3. Через точку $P_c$ проведем прямую $c$, параллельную прямым $a$ и $b$. Эта прямая является искомым множеством центров гомотетии.

Ответ: Множеством центров гомотетии является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$, для которой прямая $b$ является средней линией между $a$ и $c$.

3) $k = -\frac{1}{2}$

Так как $k = -1/2 < 0$, центр гомотетии находится в полосе между прямыми $a$ и $b$. Отношение расстояний $\frac{\text{dist}(O, b)}{\text{dist}(O, a)} = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$. Это значит, что прямая центров $c$ делит расстояние между прямыми $a$ и $b$ в отношении 2:1, считая от прямой $a$.
Построение:
1. Проведем произвольный перпендикуляр к прямым $a$ и $b$, пересекающий их в точках $P_a$ и $P_b$ соответственно.
2. Разделим отрезок $P_a P_b$ точкой $P_c$ в отношении $P_a P_c : P_c P_b = 2:1$.
3. Через точку $P_c$ проведем прямую $c$, параллельную прямым $a$ и $b$. Эта прямая является искомым множеством центров гомотетии.

Ответ: Множеством центров гомотетии является прямая $c$, параллельная прямым $a$ и $b$ и делящая расстояние между ними в отношении 2:1, находясь в два раза дальше от прямой $a$, чем от прямой $b$.

Сколько решений имеет задача?

В каждом из трех рассмотренных случаев искомый центр гомотетии не является единственным. Множеством всех возможных центров является прямая линия. Поскольку любая прямая содержит бесконечное множество точек, то для каждого заданного коэффициента $k$ существует бесконечное множество центров гомотетии.

Ответ: Задача имеет бесконечное множество решений.

748. Начертите трапецию $ABCD$, основание $BC$ которой в два раза меньше основания $AD$. Постройте центр гомотетии, при которой отрезок $AD$ является образом отрезка $BC$ с коэффициентом:

1) $k = 2$;

2) $k = -2$.

Сначала начертим трапецию $ABCD$, у которой основания $BC$ и $AD$ параллельны ($BC \parallel AD$), и длина основания $AD$ в два раза больше длины основания $BC$, то есть $AD = 2 \cdot BC$. Гомотетия с центром $O$ и коэффициентом $k$ переводит отрезок $BC$ в отрезок $AD$. Это означает, что $|AD| = |k| \cdot |BC|$. Так как по условию $AD = 2 \cdot BC$, то $|k| \cdot BC = 2 \cdot BC$, откуда $|k|=2$. Оба случая, предложенные в задаче, удовлетворяют этому условию.

1) k = 2;

Если коэффициент гомотетии $k=2$ положителен, то образ (точка $A$ или $D$) и прообраз (точка $B$ или $C$) лежат на одном луче, выходящем из центра гомотетии $O$. Это соответствует случаю, когда точка $B$ переходит в точку $A$, а точка $C$ – в точку $D$. При этом должны выполняться векторные равенства: $\vec{OA} = 2 \cdot \vec{OB}$ и $\vec{OD} = 2 \cdot \vec{OC}$.

Из равенства $\vec{OA} = 2 \cdot \vec{OB}$ следует, что точки $O$, $B$, $A$ лежат на одной прямой. Поскольку $k>0$, точка $O$ не лежит между $A$ и $B$. Это означает, что центр гомотетии $O$ лежит на прямой, содержащей боковую сторону $AB$. Аналогично, из равенства $\vec{OD} = 2 \cdot \vec{OC}$ следует, что центр гомотетии $O$ лежит на прямой, содержащей боковую сторону $CD$.

Следовательно, центр гомотетии $O$ — это точка пересечения прямых $AB$ и $CD$, на которых лежат боковые стороны трапеции.

Для построения центра гомотетии необходимо продлить боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$ до их пересечения. Точка пересечения и будет искомым центром.

Ответ: Центром гомотетии является точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны трапеции $AB$ и $CD$.

2) k = -2;

Если коэффициент гомотетии $k=-2$ отрицателен, то центр гомотетии $O$ лежит на отрезке, соединяющем прообраз и образ. Например, если точка $X$ переходит в $X'$, то $O$ лежит на отрезке $XX'$.

Если предположить, что $B$ переходит в $A$, а $C$ в $D$, то центр $O$ должен лежать на отрезке $AB$ и одновременно на отрезке $CD$. Но боковые стороны трапеции не пересекаются, поэтому такое отображение невозможно. Значит, отображение происходит "крест-накрест": точка $B$ переходит в точку $D$, а точка $C$ – в точку $A$.

В этом случае должны выполняться векторные равенства: $\vec{OD} = -2 \cdot \vec{OB}$ и $\vec{OA} = -2 \cdot \vec{OC}$.

Из равенства $\vec{OD} = -2 \cdot \vec{OB}$ следует, что точки $O$, $B$, $D$ лежат на одной прямой, и $O$ находится между $B$ и $D$. Это означает, что центр гомотетии $O$ лежит на диагонали $BD$. Аналогично, из равенства $\vec{OA} = -2 \cdot \vec{OC}$ следует, что центр гомотетии $O$ лежит на диагонали $AC$.

Следовательно, центр гомотетии $O$ — это точка пересечения диагоналей трапеции $AC$ и $BD$.

Для построения центра гомотетии необходимо провести диагонали $AC$ и $BD$. Точка их пересечения и будет искомым центром.

Ответ: Центром гомотетии является точка пересечения диагоналей трапеции $AC$ и $BD$.

749. В параллелограмме $ABCD$ точка $D_1$ – середина стороны $AD$. При гомотетии с центром $A$ точка $D_1$ является образом точки $D$. Найдите коэффициент гомотетии. Укажите, какие точки являются образами точек $B$ и $C$ при этой гомотетии.

Найдите коэффициент гомотетии.
Гомотетия с центром в точке $A$ и коэффициентом $k$ переводит любую точку $X$ в точку $X_1$ так, что выполняется векторное равенство $\vec{AX_1} = k \cdot \vec{AX}$. По условию задачи, центром гомотетии является точка $A$. Точка $D$ переходит в точку $D_1$. Следовательно, для них выполняется равенство: $\vec{AD_1} = k \cdot \vec{AD}$.

Также по условию дано, что точка $D_1$ — середина стороны $AD$. По определению середины отрезка, для векторов, исходящих из одного из его концов, справедливо равенство: $\vec{AD_1} = \frac{1}{2} \vec{AD}$.

Сравнивая два полученных выражения для вектора $\vec{AD_1}$, мы видим, что: $k \cdot \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{AD}$. Отсюда следует, что коэффициент гомотетии $k$ равен $\frac{1}{2}$.
Ответ: $k = \frac{1}{2}$.

Укажите, какие точки являются образами точек B и C при этой гомотетии.
Теперь, зная коэффициент гомотетии $k = \frac{1}{2}$, мы можем найти образы точек $B$ и $C$.

1. Найдем образ точки $B$. Пусть это будет точка $B_1$. По определению гомотетии: $\vec{AB_1} = k \cdot \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{AB}$. Это равенство означает, что точка $B_1$ лежит на отрезке $AB$ и делит его пополам, то есть $B_1$ является серединой отрезка $AB$.

2. Найдем образ точки $C$. Пусть это будет точка $C_1$. По определению гомотетии: $\vec{AC_1} = k \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{AC}$. Это равенство означает, что точка $C_1$ лежит на отрезке $AC$ и делит его пополам, то есть $C_1$ является серединой диагонали $AC$.

Таким образом, при данной гомотетии образом точки $B$ является середина стороны $AB$, а образом точки $C$ является середина диагонали $AC$.
Ответ: Образом точки $B$ является середина отрезка $AB$, а образом точки $C$ является середина отрезка $AC$.

750. Какие из фигур, изображённых на рисунке 234, совпадают со своими образами при гомотетии с центром $O$ и коэффициентом $k > 0$ и $k \neq 1$?

Рис. 234

а

б

в

г

д

а

Фигура является прямой, а центр гомотетии $O$ не лежит на этой прямой. При гомотетии с центром $O$ образом прямой, не проходящей через центр, является другая прямая, параллельная исходной. Поскольку по условию коэффициент гомотетии $k \ne 1$, образ прямой не совпадает с самой прямой. Таким образом, фигура не совпадает со своим образом.

Ответ: не совпадает.

б

Фигура является прямой, а центр гомотетии $O$ лежит на этой прямой. Пусть $l$ – данная прямая, и точка $O$ принадлежит $l$. Для любой точки $M$ на прямой $l$ ее образ $M'$ определяется условием $\vec{OM'} = k \vec{OM}$. Так как точки $O$ и $M$ лежат на прямой $l$, вектор $\vec{OM}$ коллинеарен направляющему вектору этой прямой. Следовательно, вектор $\vec{OM'}$ также ему коллинеарен, и точка $M'$ принадлежит прямой $l$. Для любой точки $P$ на прямой $l$ можно найти ее прообраз $Q$ на той же прямой, такой что $\vec{OQ} = \frac{1}{k}\vec{OP}$. Это означает, что образом прямой $l$ является сама прямая $l$. Фигура совпадает со своим образом.

Ответ: совпадает.

в

Фигура является отрезком, один из концов которого, точка $O$, является центром гомотетии. Пусть второй конец отрезка – точка $A$. Образом точки $O$ при гомотетии является сама точка $O$. Образом точки $A$ является точка $A'$, лежащая на луче $OA$ и удовлетворяющая условию $OA' = k \cdot OA$. Поскольку $k > 0$ и $k \ne 1$, то $OA' \ne OA$, и точка $A'$ не совпадает с $A$. Образом отрезка $OA$ является отрезок $OA'$. Так как длины отрезков $OA$ и $OA'$ различны, фигура не совпадает со своим образом.

Ответ: не совпадает.

г

Фигура представляет собой угол (или объединение двух лучей), вершина которого $O$ является центром гомотетии. Любой луч с началом в центре гомотетии является инвариантной фигурой относительно этой гомотетии. Действительно, для любой точки $M$ на таком луче ее образ $M'$ ($OM' = k \cdot OM$) также будет лежать на этом же луче. И для любой точки $P$ на луче найдется прообраз $Q$ ($OQ = \frac{1}{k} OP$), также лежащий на этом луче. Так как оба луча, составляющие фигуру, отображаются сами на себя, то и вся фигура совпадает со своим образом.

Ответ: совпадает.

д

Фигура является окружностью с центром в точке $O$, которая также является центром гомотетии. Пусть радиус окружности равен $R$. Для любой точки $M$ на окружности расстояние $OM = R$. Ее образ $M'$ будет лежать на луче $OM$ на расстоянии $OM' = k \cdot OM = kR$. Поскольку $k \ne 1$, то $OM' \ne R$, и точка $M'$ не лежит на исходной окружности. Образом данной окружности будет окружность с тем же центром $O$, но с радиусом $R' = kR$. Так как радиусы окружностей различны ($R' \ne R$), фигура не совпадает со своим образом.

Ответ: не совпадает.