Номер 727, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

727. Постройте ромб, точкой пересечения диагоналей которого является данная точка, а три вершины принадлежат трём данным попарно непараллельным прямым.

Для решения задачи воспользуемся свойствами ромба: его диагонали взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии ромба.

Анализ

Пусть дан ромб $ABCD$, точка $O$ — точка пересечения его диагоналей. Пусть даны три попарно непараллельные прямые $l_1, l_2, l_3$. Три вершины ромба должны лежать на этих прямых. Рассмотрим случай, когда две противоположные вершины, например $A$ и $C$, и одна из смежных с ними вершин, например $B$, лежат на данных прямых. Пусть $A \in l_1$, $C \in l_2$, $B \in l_3$.

Поскольку $O$ — центр симметрии ромба, для вершин $A$ и $C$ выполняется равенство $C = S_O(A)$, где $S_O$ — центральная симметрия относительно точки $O$. Это означает, что если точка $A$ лежит на прямой $l_1$, то ее образ $C$ должен лежать на образе прямой $l_1$ при этой симметрии, то есть на прямой $l'_1 = S_O(l_1)$.

По условию, вершина $C$ также должна лежать на прямой $l_2$. Следовательно, точка $C$ является точкой пересечения прямых $l'_1$ и $l_2$.

После того как найдена вершина $C$, можно найти и вершину $A$ как ее образ при симметрии относительно $O$: $A = S_O(C)$. Таким образом, мы определили диагональ $AC$.

Вторая диагональ ромба, $BD$, должна проходить через точку $O$ и быть перпендикулярной диагонали $AC$. Обозначим прямую, содержащую диагональ $BD$, как $m$.

По условию, вершина $B$ лежит на прямой $l_3$. Также она должна лежать на прямой $m$. Следовательно, вершина $B$ является точкой пересечения прямых $m$ и $l_3$.

Последняя вершина $D$ находится как образ вершины $B$ при симметрии относительно точки $O$: $D = S_O(B)$.

Таким образом, все вершины ромба определены.

Построение

Выполним построение, предполагая, что вершина $A \in l_1$, $C \in l_2$, $B \in l_3$.

1. Построим прямую $l'_1$ — образ прямой $l_1$ при центральной симметрии относительно точки $O$. Для этого выберем на $l_1$ две произвольные точки, построим их симметричные образы относительно $O$ и проведем через эти образы прямую. Или, что проще, выберем одну точку $P \in l_1$, найдем ее образ $P' = S_O(P)$ и проведем через $P'$ прямую $l'_1$, параллельную $l_1$.
2. Найдем точку пересечения прямых $l'_1$ и $l_2$. Обозначим ее $C$. Так как $l_1$ и $l_2$ по условию не параллельны, то и $l'_1$ и $l_2$ не параллельны, и точка их пересечения существует и единственна.
3. Построим точку $A$, симметричную точке $C$ относительно точки $O$. Для этого проведем луч $CO$ и отложим на нем от точки $O$ отрезок $OA$, равный $OC$.
4. Проведем прямую $m$ через точку $O$ перпендикулярно прямой $AC$.
5. Найдем точку пересечения прямых $m$ и $l_3$. Обозначим ее $B$.
6. Построим точку $D$, симметричную точке $B$ относительно точки $O$.
7. Соединим последовательно точки $A, B, C, D$. Полученный четырехугольник $ABCD$ является искомым ромбом.

Доказательство

Докажем, что построенный четырехугольник $ABCD$ удовлетворяет всем условиям задачи.

1. Вершины лежат на заданных прямых.По построению, $C = l'_1 \cap l_2$, следовательно, $C \in l_2$.Поскольку $A = S_O(C)$ и $C \in l'_1 = S_O(l_1)$, то $A \in l_1$.По построению, $B = m \cap l_3$, следовательно, $B \in l_3$.Таким образом, три вершины $A, C, B$ лежат на прямых $l_1, l_2, l_3$ соответственно.

2. $ABCD$ — ромб с центром в точке $O$.По построению, $A, O, C$ лежат на одной прямой и $OA = OC$. Также $B, O, D$ лежат на одной прямой и $OB = OD$. Это означает, что диагонали четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам. Следовательно, $ABCD$ — параллелограмм, и $O$ — его центр.По построению, прямая $m$, содержащая диагональ $BD$, перпендикулярна прямой, содержащей диагональ $AC$. Параллелограмм, диагонали которого взаимно перпендикулярны, является ромбом.

Таким образом, построенный четырехугольник $ABCD$ — искомый ромб.

Исследование

В задаче не указано, какие именно вершины на каких прямых лежат. Мы рассмотрели случай, когда на двух прямых ($l_1$ и $l_2$) лежат противоположные вершины, а на третьей ($l_3$) — смежная с ними. Выбор пары прямых для противоположных вершин можно сделать тремя способами:

1. Противоположные вершины лежат на $l_1$ и $l_2$.
2. Противоположные вершины лежат на $l_1$ и $l_3$.
3. Противоположные вершины лежат на $l_2$ и $l_3$.

Каждый из этих выборов приводит к своему построению и, как правило, к своему решению. Построение возможно, если на шаге 5 прямые $m$ и $l_3$ пересекаются, то есть не являются параллельными. Если для какой-либо из комбинаций прямая, построенная для второй диагонали, окажется параллельной третьей прямой, то для этой комбинации решения не будет.

Таким образом, задача может иметь до трех решений.

Ответ: Алгоритм построения описан выше. Сначала выбираются две из трех прямых, на которых будут лежать противоположные вершины. Затем строится образ одной из этих прямых относительно центра симметрии $O$. Точка пересечения этого образа со второй прямой дает одну вершину ромба. Остальные вершины строятся с использованием свойств симметрии и перпендикулярности диагоналей. В общем случае задача имеет три решения.