Номер 723, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

723. Постройте отрезок, серединой которого является данная точка, а концы принадлежат данным непараллельным прямым.

Пусть даны две непараллельные прямые a и b, и точка M. Необходимо построить отрезок AB так, чтобы его концы A и B лежали на прямых a и b соответственно, а точка M была его серединой.

Анализ

Будем решать задачу методом центральной симметрии. Предположим, что искомый отрезок AB построен. Так как точка M является серединой отрезка AB, то точка B является образом точки A при центральной симметрии с центром в точке M.

По условию, точка A лежит на прямой a. Следовательно, ее образ — точка B — должна лежать на образе прямой a при той же симметрии. Обозначим образ прямой a как a'. Таким образом, $B \in a'$.

Также, по условию, точка B лежит на прямой b. Значит, точка B является точкой пересечения прямых a' и b.

Прямая a', полученная центральной симметрией из прямой a, параллельна прямой a. Поскольку исходные прямые a и b непараллельны, то прямые a' и b также непараллельны, а значит, они пересекаются в единственной точке. Это и будет точка B.

После нахождения точки B, можно найти точку A. Точка A симметрична точке B относительно M, и она также является точкой пересечения прямой BM с прямой a.

Построение

1. Построим прямую a', симметричную прямой a относительно точки M.
Для этого выберем на прямой a любую точку P и построим симметричную ей точку P' относительно M (для этого проводим луч PM и откладываем на нем отрезок $MP' = MP$).
Через точку P' проведем прямую a', параллельную прямой a. Это и есть искомый образ прямой.
2. Найдем точку пересечения построенной прямой a' и данной прямой b. Обозначим эту точку как B. Это один из концов искомого отрезка.
3. Проведем прямую через точки B и M.
4. Найдем точку пересечения прямой BM с прямой a. Обозначим эту точку как A. Это второй конец отрезка.
5. Соединим точки A и B. Отрезок AB является искомым.

Доказательство

По построению, точка A принадлежит прямой a, а точка B принадлежит прямой b. Необходимо доказать, что точка M является серединой отрезка AB.

Рассмотрим центральную симметрию $S_M$ с центром в точке M. По построению, прямая $a' = S_M(a)$. Точка B лежит на пересечении прямых b и a'. Так как $B \in a'$, то ее образ $A^* = S_M(B)$ должен лежать на прообразе прямой a', то есть на прямой a. Таким образом, $A^* \in a$.

По определению центральной симметрии, точки B, M и $A^*$ лежат на одной прямой, причем M — середина отрезка $BA^*$.

В нашем построении точка A была найдена как точка пересечения прямой BM и прямой a. Следовательно, точка A совпадает с точкой $A^*$.

Таким образом, M является серединой отрезка AB, что и требовалось доказать. Построенный отрезок удовлетворяет всем условиям задачи.

Ответ: Отрезок AB, построенный по вышеописанному алгоритму, является искомым.