Номер 724, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

724. Точка $M$ принадлежит углу $ABC$ и не принадлежит его сторонам. Постройте равнобедренный прямоугольный треугольник, вершиной прямого угла которого является точка $M$, а две другие вершины принадлежат сторонам $BA$ и $BC$ соответственно.

Для построения искомого равнобедренного прямоугольного треугольника $\triangle PMQ$, где $M$ — вершина прямого угла, $P$ лежит на стороне $BA$, а $Q$ — на стороне $BC$, воспользуемся методом геометрических преобразований, а именно — поворотом.

Анализ

Пусть $\triangle PMQ$ — искомый треугольник. По условию, $\angle PMQ = 90^\circ$ и, так как он равнобедренный, катеты должны быть равны: $PM = MQ$. Это означает, что точка $Q$ может быть получена из точки $P$ поворотом вокруг центра $M$ на угол $90^\circ$ (по или против часовой стрелки). Обозначим поворот вокруг точки $M$ на $90^\circ$ как $R_M^{90^\circ}$.

Точка $P$ по условию лежит на луче $BA$. Следовательно, ее образ $Q = R_M^{90^\circ}(P)$ должен лежать на образе луча $BA$ при данном повороте. Обозначим этот образ (тоже луч) как $l$.

С другой стороны, точка $Q$ по условию лежит на луче $BC$. Таким образом, точка $Q$ должна быть точкой пересечения луча $l$ (образа луча $BA$) и луча $BC$. Это позволяет найти точку $Q$, а затем и точку $P$.

Построение

1. Построим луч $l$, который является образом луча $BA$ при повороте вокруг точки $M$ на угол $90^\circ$ (например, против часовой стрелки).
   1. Проведем прямую, содержащую луч $BA$. Из точки $M$ опустим на эту прямую перпендикуляр $MH$ (где $H$ — основание перпендикуляра).
   2. Построим прямую, проходящую через точку $M$ и перпендикулярную отрезку $MH$.
   3. На этой новой прямой отложим от точки $M$ отрезок $MH'$, равный по длине отрезку $MH$. Точка $H'$ — это образ точки $H$ при повороте на $90^\circ$.
   4. Через точку $H'$ проведем прямую $l'$, перпендикулярную $MH'$. Эта прямая $l'$ является образом прямой $BA$.
   5. Чтобы получить образ луча $BA$, выполним поворот его начальной точки $B$ вокруг $M$ на $90^\circ$ тем же способом и получим точку $B'$. Луч $l$ будет начинаться в точке $B'$ и проходить по прямой $l'$.
2. Найдем точку пересечения луча $l$ и луча $BC$. Обозначим эту точку $Q$. Если такой точки не существует или она не единственна, то построение этим способом невозможно.
3. Теперь, имея точку $Q$, найдем точку $P$. Точка $P$ является прообразом точки $Q$ при заданном повороте. Это значит, что ее можно получить, повернув точку $Q$ вокруг $M$ на угол $-90^\circ$ (в обратном направлении, т.е. по часовой стрелке).
4. Построенный треугольник $PMQ$ является искомым.

Доказательство

По построению, точка $Q$ принадлежит лучу $BC$. Точка $P$ получена поворотом точки $Q$ вокруг $M$ на $-90^\circ$. Так как $Q$ лежит на луче $l=R_M^{90^\circ}(BA)$, ее прообраз $P$ должен лежать на прообразе луча $l$, то есть на луче $BA$. Таким образом, вершины треугольника лежат на указанных сторонах угла.Из определения поворота следует, что расстояние от центра поворота до точки и до ее образа равны, то есть $MP = MQ$. Угол между отрезками, соединяющими центр поворота с точкой и ее образом, равен углу поворота, то есть $\angle PMQ = 90^\circ$.Следовательно, треугольник $\triangle PMQ$ является равнобедренным и прямоугольным, что и требовалось.

Примечание: Поворот можно осуществлять в двух направлениях: на $+90^\circ$ (против часовой стрелки) и на $-90^\circ$ (по часовой стрелке). Поэтому задача может иметь до двух решений. Каждое решение существует, если соответствующий повернутый луч пересекает луч $BC$.

Ответ: Построение основано на методе поворота. Выполняется поворот луча $BA$ вокруг точки $M$ на угол $90^\circ$ (или $-90^\circ$). Точка $Q$ находится как пересечение полученного луча $l$ и луча $BC$. Затем точка $P$ находится как образ точки $Q$ при обратном повороте (на $-90^\circ$ или $+90^\circ$ соответственно) вокруг точки $M$. Треугольник $PMQ$ является искомым.