Номер 719, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

719. Пусть вершина $A$ равностороннего треугольника $ABC$ является центром поворота на угол $120^\circ$. Найдите отрезок $BC_1$, где точка $C_1$ – образ точки $C$ при данном повороте, если $AB = 1$ см. Сколько решений имеет задача?

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний, и его сторона $AB = 1$ см. Это означает, что все его стороны равны 1 см ($AB = BC = AC = 1$ см), а все углы равны $60°$ ($∠BAC = ∠ABC = ∠BCA = 60°$).

Вершина $A$ является центром поворота на угол $120°$. Точка $C_1$ — это образ точки $C$ при этом повороте. Согласно определению поворота:

• Расстояние от центра поворота до образа точки равно расстоянию от центра до исходной точки. Таким образом, $AC_1 = AC = 1$ см.
• Угол, образованный лучами, исходящими из центра поворота к исходной точке и ее образу, равен углу поворота. Таким образом, $∠CAC_1 = 120°$.

В задаче не указано направление поворота (по часовой стрелке или против часовой стрелки), поэтому необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Поворот осуществляется против часовой стрелки.

Предположим, что вершины треугольника $A$, $B$, $C$ расположены против часовой стрелки. Тогда угол $∠BAC_1$ будет равен сумме углов $∠BAC$ и $∠CAC_1$.

$∠BAC_1 = ∠BAC + ∠CAC_1 = 60° + 120° = 180°$.

Угол в $180°$ означает, что точки $B$, $A$ и $C_1$ лежат на одной прямой, причем точка $A$ находится между точками $B$ и $C_1$. В этом случае длина отрезка $BC_1$ равна сумме длин отрезков $BA$ и $AC_1$.

$BC_1 = BA + AC_1 = 1 + 1 = 2$ см.

Ответ: $BC_1 = 2$ см.

Случай 2: Поворот осуществляется по часовой стрелке.

При повороте по часовой стрелке угол $∠BAC_1$ будет равен разности углов $∠CAC_1$ и $∠BAC$.

$∠BAC_1 = ∠CAC_1 - ∠BAC = 120° - 60° = 60°$.

Теперь рассмотрим треугольник $ABC_1$. Нам известны длины двух его сторон, $AB = 1$ см и $AC_1 = 1$ см, и угол между ними, $∠BAC_1 = 60°$.

Треугольник, у которого две стороны равны, а угол между ними составляет $60°$, является равносторонним. Следовательно, треугольник $ABC_1$ — равносторонний.

Это означает, что все его стороны равны, то есть $BC_1 = AB = AC_1 = 1$ см.

Ответ: $BC_1 = 1$ см.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку направление поворота в условии не задано, существуют два возможных положения для точки $C_1$. Каждое положение приводит к своему значению длины отрезка $BC_1$. Следовательно, задача имеет два решения.

Ответ: Задача имеет два решения.