Номер 721, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

721. Вершины одного параллелограмма лежат на сторонах другого: по одной вершине на каждой стороне. Докажите, что точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.

Для доказательства воспользуемся векторным методом.

Пусть $ABCD$ — внешний параллелограмм, а $KLMN$ — внутренний, вершины которого лежат на сторонах внешнего: $K$ на $AB$, $L$ на $BC$, $M$ на $CD$ и $N$ на $DA$.

Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром, который делит каждую диагональ пополам. Нам нужно доказать, что центры параллелограммов $ABCD$ и $KLMN$ совпадают.

Выберем вершину $A$ в качестве начала координат. Обозначим векторы, идущие вдоль сторон параллелограмма $ABCD$, как $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Тогда радиус-векторы вершин параллелограмма $ABCD$ будут:
$\vec{A} = \vec{0}$
$\vec{B} = \vec{a}$
$\vec{D} = \vec{b}$
$\vec{C} = \vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AD} = \vec{a} + \vec{b}$

Теперь выразим радиус-векторы вершин параллелограмма $KLMN$.
1. Точка $K$ лежит на стороне $AB$. Следовательно, существует число $k \in [0, 1]$ такое, что $\vec{AK} = k \cdot \vec{AB} = k\vec{a}$.
2. Точка $L$ лежит на стороне $BC$. Вектор $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Следовательно, существует число $l \in [0, 1]$ такое, что $\vec{BL} = l \cdot \vec{BC} = l\vec{b}$. Тогда радиус-вектор точки $L$ равен $\vec{AL} = \vec{AB} + \vec{BL} = \vec{a} + l\vec{b}$.
3. Точка $M$ лежит на стороне $CD$. Вектор $\vec{CD} = -\vec{AB} = -\vec{a}$. Следовательно, существует число $m \in [0, 1]$ такое, что $\vec{CM} = m \cdot \vec{CD} = -m\vec{a}$. Тогда радиус-вектор точки $M$ равен $\vec{AM} = \vec{AC} + \vec{CM} = (\vec{a} + \vec{b}) - m\vec{a} = (1-m)\vec{a} + \vec{b}$.
4. Точка $N$ лежит на стороне $DA$. Вектор $\vec{DA} = -\vec{AD} = -\vec{b}$. Следовательно, существует число $n \in [0, 1]$ такое, что $\vec{DN} = n \cdot \vec{DA} = -n\vec{b}$. Тогда радиус-вектор точки $N$ равен $\vec{AN} = \vec{AD} + \vec{DN} = \vec{b} - n\vec{b} = (1-n)\vec{b}$.

Поскольку $KLMN$ является параллелограммом, его диагонали $KM$ и $LN$ должны пересекаться в своей середине. Это эквивалентно векторному равенству $\vec{AK} + \vec{AM} = \vec{AL} + \vec{AN}$. Подставим найденные выражения:
$k\vec{a} + ((1-m)\vec{a} + \vec{b}) = (\vec{a} + l\vec{b}) + (1-n)\vec{b}$

Сгруппируем слагаемые при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$:
$(k + 1 - m)\vec{a} + \vec{b} = \vec{a} + (l + 1 - n)\vec{b}$

Так как векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны (они являются смежными сторонами параллелограмма), равенство возможно только в том случае, если коэффициенты при этих векторах в левой и правой частях уравнения равны:
$k + 1 - m = 1 \implies k = m$
$1 = l + 1 - n \implies l = n$

Теперь найдем центр (точку пересечения диагоналей) каждого параллелограмма.
Центр параллелограмма $ABCD$ (обозначим его $O_1$) является серединой диагонали $AC$. Его радиус-вектор:
$\vec{AO_1} = \frac{1}{2}\vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Центр параллелограмма $KLMN$ (обозначим его $O_2$) является серединой диагонали $KM$. Его радиус-вектор:
$\vec{AO_2} = \frac{1}{2}(\vec{AK} + \vec{AM}) = \frac{1}{2}(k\vec{a} + ((1-m)\vec{a} + \vec{b})) = \frac{1}{2}((k + 1 - m)\vec{a} + \vec{b})$

Мы ранее доказали, что $k=m$. Подставим это соотношение в выражение для $\vec{AO_2}$:
$\vec{AO_2} = \frac{1}{2}((k + 1 - k)\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{a} + \vec{b})$

Таким образом, мы получили, что $\vec{AO_1} = \vec{AO_2}$. Это означает, что радиус-векторы центров обоих параллелограммов равны, а значит, сами центры совпадают.

Ответ: Утверждение доказано. Точки пересечения диагоналей этих параллелограммов совпадают.