Номер 716, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

716. Докажите, что луч не имеет центра симметрии.

Доказательство проведем методом от противного. Предположим, что у луча существует центр симметрии. Обозначим этот центр симметрии как точку $O$.

Пусть наш луч начинается в точке $A$. Расположим этот луч на координатной оси $Ox$ так, чтобы его начало, точка $A$, совпало с началом координат (координата 0). Тогда луч будет состоять из всех точек с неотрицательными координатами, то есть множество точек $x$, для которых $x \ge 0$.

Пусть предполагаемый центр симметрии $O$ имеет координату $c$. По определению центра симметрии, для любой точки $P$ на луче, симметричная ей точка $P'$ относительно центра $O$ также должна принадлежать этому лучу. Если точка $P$ имеет координату $p$, то симметричная ей точка $P'$ будет иметь координату $p'$, которая вычисляется из условия, что $O$ является серединой отрезка $PP'$: $c = \frac{p + p'}{2}$, откуда $p' = 2c - p$.

Сначала рассмотрим начальную точку луча — точку $A$ с координатой $p = 0$. Симметричная ей точка $A'$ должна лежать на луче. Ее координата $a'$ равна $a' = 2c - 0 = 2c$. Чтобы точка $A'$ принадлежала лучу, ее координата должна быть неотрицательной: $a' \ge 0$, следовательно, $2c \ge 0$, что означает $c \ge 0$. Это значит, что если центр симметрии у луча существует, то он должен находиться на самом луче (включая его начальную точку).

Теперь выберем на луче произвольную точку $P$ с координатой $p$ такой, что $p > 2c$. Мы всегда можем это сделать, так как луч бесконечен, а $2c$ — это конкретное конечное число (поскольку $c \ge 0$). Найдем координату $p'$ точки $P'$, симметричной точке $P$ относительно $O$: $p' = 2c - p$.

Поскольку мы выбрали $p > 2c$, то разность $2c - p$ будет отрицательной, то есть $p' < 0$.

Точка с отрицательной координатой не принадлежит нашему лучу, так как он состоит только из точек с неотрицательными координатами ($x \ge 0$). Таким образом, мы нашли точку $P$ на луче, для которой симметричная ей точка $P'$ не принадлежит лучу. Это противоречит нашему первоначальному предположению о том, что точка $O$ является центром симметрии.

Следовательно, наше предположение было неверным. Луч не имеет центра симметрии, что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что луч не имеет центра симметрии.