Номер 709, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

709. Докажите, что образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая.

Пусть $O$ — центр симметрии, а прямая $l$ проходит через точку $O$. Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором каждая точка $A$ переходит в такую точку $A'$, что $O$ является серединой отрезка $AA'$. Образом прямой $l$ при этом преобразовании является множество $l'$, состоящее из всех точек-образов для каждой точки на прямой $l$. Нам нужно доказать, что $l' = l$.

Для доказательства равенства двух множеств ($l$ и $l'$) необходимо доказать два взаимных включения: $l' \subseteq l$ и $l \subseteq l'$.

1. Докажем, что $l' \subseteq l$ (любая точка образа принадлежит исходной прямой).
Пусть $A'$ — произвольная точка из $l'$. По определению образа, существует точка $A$ на прямой $l$ такая, что $A'$ является образом $A$ при симметрии относительно $O$. По определению центральной симметрии, точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой. Поскольку по условию точки $A$ и $O$ принадлежат прямой $l$, то и точка $A'$, лежащая на той же прямой, также принадлежит $l$. Так как $A'$ — любая точка из $l'$, то это справедливо для всех точек образа, и, следовательно, $l' \subseteq l$.

2. Докажем, что $l \subseteq l'$ (любая точка исходной прямой принадлежит ее образу).
Пусть $B$ — произвольная точка на прямой $l$. Найдем для нее прообраз, то есть такую точку $C$, что $B$ является ее образом при симметрии относительно $O$. Такой точкой является точка $C$, симметричная $B$ относительно $O$. Нам нужно убедиться, что точка $C$ также лежит на прямой $l$. По определению симметрии, точки $C$, $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Так как точки $B$ и $O$ принадлежат прямой $l$, то и точка $C$ принадлежит этой же прямой $l$. Таким образом, для любой точки $B$ на прямой $l$ мы нашли прообраз $C$, также лежащий на прямой $l$. Это означает, что любая точка прямой $l$ является образом некоторой точки этой же прямой, а значит, принадлежит множеству $l'$. Следовательно, $l \subseteq l'$.

Так как мы доказали, что $l' \subseteq l$ и $l \subseteq l'$, то множества $l$ и $l'$ совпадают. Это означает, что образом прямой, проходящей через центр симметрии, является сама эта прямая. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.