Номер 706, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

имеет его центром симметрии.

706. Докажите, что окружность имеет центр симметрии.

Центром симметрии фигуры называется такая точка, относительно которой каждая точка данной фигуры симметрична некоторой другой точке этой же фигуры. Чтобы доказать, что окружность имеет центр симметрии, необходимо показать существование такой точки и доказать, что она удовлетворяет определению.

Рассмотрим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R$. Докажем, что центр окружности, точка $C$, и является её центром симметрии.

1. Пусть $A$ — произвольная точка, лежащая на данной окружности. По определению окружности, расстояние от центра $C$ до любой точки на ней равно радиусу $R$. Следовательно, длина отрезка $CA$ равна $R$, то есть $|CA| = R$.

2. Рассмотрим точку $A'$, которая симметрична точке $A$ относительно центра $C$. Согласно определению центральной симметрии, точка $C$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $C$ и $A'$ расположены на одной прямой, и расстояния от $C$ до $A$ и от $C$ до $A'$ равны: $|CA'| = |CA|$.

3. Используя оба факта, получаем: так как $|CA| = R$ и $|CA'| = |CA|$, то отсюда следует, что $|CA'| = R$.

4. Условие $|CA'| = R$ означает, что точка $A'$ также удалена от центра $C$ на расстояние, равное радиусу. По определению, любая точка, находящаяся на расстоянии $R$ от центра $C$, принадлежит этой окружности. Таким образом, точка $A'$ лежит на нашей окружности.

Поскольку точка $A$ была выбрана произвольно, данное утверждение справедливо для любой точки окружности. Мы доказали, что для каждой точки на окружности существует симметричная ей относительно центра $C$ точка, которая также принадлежит этой окружности. Следовательно, центр окружности является её центром симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр окружности является ее центром симметрии.