Номер 700, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

700. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (рис. 204). Найдите точку, относительно которой прямая $a$ будет симметрична прямой $b$.

Рис. 204

Центральной симметрией относительно точки $O$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Прямая $a$ будет симметрична прямой $b$ относительно некоторой точки $O$, если каждая точка прямой $a$ при симметрии относительно $O$ переходит в точку на прямой $b$, и наоборот, каждая точка прямой $b$ переходит в точку на прямой $a$.

Для нахождения такой точки (центра симметрии) можно использовать следующий алгоритм:

1. Выбрать произвольную точку $A$ на прямой $a$.
2. Провести из точки $A$ перпендикуляр к прямой $b$. Пусть $B$ — точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $b$.
3. Найти середину отрезка $AB$. Обозначим эту точку как $O$.

Эта точка $O$ и будет искомым центром симметрии.

Доказательство:

Пусть $A_1$ — любая другая точка на прямой $a$. Построим точку $B_1$, симметричную $A_1$ относительно точки $O$. По определению симметрии, $O$ является серединой отрезка $A_1B_1$.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. Его диагонали $AB$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Следовательно, $AA_1B_1B$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть $AA_1 \parallel BB_1$.

Так как точки $A$ и $A_1$ лежат на прямой $a$, то прямая, содержащая отрезок $AA_1$, совпадает с прямой $a$. Значит, прямая, проходящая через точки $B$ и $B_1$, параллельна прямой $a$.

По условию задачи, прямая $b$ также параллельна прямой $a$. Через точку $B$, принадлежащую прямой $b$, мы провели прямую $(BB_1)$, параллельную $a$. Согласно аксиоме параллельных прямых Евклида, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Отсюда следует, что прямая $(BB_1)$ совпадает с прямой $b$.

Таким образом, точка $B_1$ лежит на прямой $b$. Поскольку $A_1$ была выбрана произвольно, мы показали, что любая точка прямой $a$ при симметрии относительно $O$ переходит в точку на прямой $b$.

Стоит отметить, что выбор начальной точки $A$ на прямой $a$ не влияет на результат. Если бы мы выбрали другую точку и повторили построение, мы бы получили другую точку, которая также являлась бы центром симметрии. Множество всех таких точек образует прямую, параллельную прямым $a$ и $b$ и равноудаленную от них.

Ответ: Искомой является любая точка, принадлежащая прямой, которая параллельна прямым $a$ и $b$ и расположена посередине между ними. Чтобы найти одну такую точку, достаточно выбрать на прямой $a$ произвольную точку, опустить из нее перпендикуляр на прямую $b$ и найти середину этого перпендикуляра.