Номер 699, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

699. Постройте параллелограмм $ABCD$ по его вершинам $A$ и $B$ и точке $O$ – точке пересечения его диагоналей (рис. 203).

Для построения параллелограмма $ABCD$ по заданным вершинам $A$ и $B$ и точке пересечения диагоналей $O$ необходимо использовать свойство диагоналей параллелограмма. Основное свойство заключается в том, что диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$ и одновременно серединой диагонали $BD$. Следовательно, отрезки $AO$ и $OC$ равны, а также равны отрезки $BO$ и $OD$. На этом свойстве и основано построение.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $A$ и $O$.
2. На этой прямой от точки $O$ отложить отрезок $OC$, равный по длине отрезку $AO$, так, чтобы точка $O$ находилась между точками $A$ и $C$. Точка $C$ — третья вершина искомого параллелограмма.
3. Провести прямую через точки $B$ и $O$.
4. На этой прямой от точки $O$ отложить отрезок $OD$, равный по длине отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ находилась между точками $B$ и $D$. Точка $D$ — четвертая вершина искомого параллелограмма.
5. Последовательно соединить отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Обоснование:
В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению мы имеем $AO = OC$ и $BO = OD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Ответ: Для построения параллелограмма $ABCD$ следует найти его недостающие вершины $C$ и $D$. Вершина $C$ строится как точка, симметричная вершине $A$ относительно точки $O$ (то есть на луче $AO$ откладывается отрезок $OC = AO$). Вершина $D$ строится как точка, симметричная вершине $B$ относительно точки $O$ (на луче $BO$ откладывается отрезок $OD = BO$). Последовательное соединение точек $A$, $B$, $C$, $D$ дает искомый параллелограмм.