Номер 705, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

705. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии параллелограмма.

По определению, точка является центром симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно данного центра точка также принадлежит этой фигуре.

По основному свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$. Таким образом, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Из этого следует, что вершины параллелограмма симметричны друг другу относительно точки $O$:

• Вершина $A$ симметрична вершине $C$.
• Вершина $B$ симметрична вершине $D$.

Теперь докажем, что для любой точки $P$, лежащей на одной из сторон параллелограмма, симметричная ей точка $P'$ относительно $O$ также лежит на стороне параллелограмма.

Возьмем произвольную точку $P$ на стороне $AB$. Построим точку $P'$, симметричную точке $P$ относительно центра $O$. По определению центральной симметрии, точка $O$ — середина отрезка $PP'$, то есть $PO = OP'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOP$ и $\triangle COP'$. В них:

• $AO = CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
• $PO = P'O$ (по построению).
• $\angle AOP = \angle COP'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOP \cong \triangle COP'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон:

• $\angle PAO = \angle P'CO$ (то же, что $\angle CAB = \angle ACD$).
• $AP = CP'$.

Углы $\angle CAB$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Поскольку стороны параллелограмма $AB$ и $CD$ параллельны, то эти углы равны. Равенство $\angle PAO = \angle P'CO$ доказывает, что точка $P'$ лежит на прямой $CD$.

Так как точка $P$ принадлежит отрезку $AB$, то $AP \le AB$. Из равенства сторон $AP = CP'$ и $AB = CD$ (противоположные стороны параллелограмма) следует, что $CP' \le CD$. Это означает, что точка $P'$ принадлежит отрезку $CD$.

Таким образом, мы доказали, что любая точка стороны $AB$ имеет симметричную ей точку на стороне $CD$. Аналогично можно доказать, что любая точка стороны $BC$ имеет симметричную ей точку на стороне $DA$.

Поскольку каждая точка на границе параллелограмма имеет симметричную ей точку, также находящуюся на границе, то и вся фигура параллелограмма, включая его внутреннюю область, симметрична относительно точки $O$. Следовательно, точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.