Номер 711, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

711. На рисунке 208 изображены фигуры, составленные из равных полукругов. Какие из этих фигур при некотором повороте на угол $\alpha$, где $0^{\circ} < \alpha \le 180^{\circ}$, вокруг точки $O$ совпадают со своими образами?

Рис. 208

а

б

в

г

д

е

Чтобы фигура совпала со своим образом при повороте вокруг точки O на угол $α$, где $0° < α ≤ 180°$, она должна обладать вращательной симметрией на этот угол. Проанализируем каждую фигуру:

а) Данная фигура состоит из двух полукругов и обладает центральной симметрией относительно точки O. Это означает, что она совпадает сама с собой при повороте на $180°$. Угол $α = 180°$ удовлетворяет заданному условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 180°$.

б) Фигура состоит из четырех одинаковых полукругов, расположенных симметрично вокруг центра. Она обладает вращательной симметрией 4-го порядка. Это значит, что фигура совпадет сама с собой при повороте на угол $360°/4 = 90°$. Угол $α = 90°$ удовлетворяет условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 90°$.

в) Фигура обладает центральной симметрией относительно точки O. При повороте на $180°$ верхний полукруг переходит в нижний, а левый — в правый, и наоборот. Вся фигура в целом совпадает со своим исходным положением. Угол $α = 180°$ удовлетворяет условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 180°$.

г) Фигура симметрична только относительно вертикальной оси. При любом повороте на угол $α$ в диапазоне $0° < α ≤ 180°$ она не совпадет со своим исходным положением. Например, при повороте на $180°$ полукруги окажутся под горизонтальной осью, а не над ней.
Ответ: не совпадает.

д) Фигура состоит из трех одинаковых полукругов, расположенных симметрично вокруг центра. Она обладает вращательной симметрией 3-го порядка. Фигура совпадет сама с собой при повороте на угол $360°/3 = 120°$. Угол $α = 120°$ удовлетворяет условию $0° < α ≤ 180°$.
Ответ: совпадает при $α = 120°$.

е) Фигура не обладает вращательной симметрией для углов в заданном диапазоне. При любом повороте на угол $α$ ($0° < α ≤ 180°$) она не совпадет со своим исходным положением. Например, при повороте на $180°$ верхний полукруг окажется внизу, а правый — слева.
Ответ: не совпадает.