Номер 708, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 19. Центральная симметрия. Поворот. Глава 5. Геометрические преобразования - номер 708, страница 173.

Условие.

708. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (3; -1)$ и $B (0; -2)$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (2; -3).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 4.

Решение 6.

1) начала координат

Если точка $P'(x', y')$ симметрична точке $P(x, y)$ относительно начала координат $O(0, 0)$, то начало координат является серединой отрезка $PP'$. Это означает, что координаты симметричной точки противоположны по знаку координатам исходной точки: $x' = -x$ и $y' = -y$.

Найдем координаты точки $A_1$, симметричной точке $A(3; -1)$ относительно начала координат:

$x_{A_1} = -x_A = -3$

$y_{A_1} = -y_A = -(-1) = 1$

Следовательно, координаты точки $A_1$ равны $(-3; 1)$.

Найдем координаты точки $B_1$, симметричной точке $B(0; -2)$ относительно начала координат:

$x_{B_1} = -x_B = -0 = 0$

$y_{B_1} = -y_B = -(-2) = 2$

Следовательно, координаты точки $B_1$ равны $(0; 2)$.

Ответ: $(-3; 1)$ и $(0; 2)$.

2) точки M (2; -3)

Если точка $P'(x', y')$ симметрична точке $P(x, y)$ относительно точки $M(x_M, y_M)$, то точка $M$ является серединой отрезка $PP'$. Координаты симметричной точки $P'$ находятся по формулам середины отрезка:

$x_M = \frac{x + x'}{2} \implies x' = 2x_M - x$

$y_M = \frac{y + y'}{2} \implies y' = 2y_M - y$

Найдем координаты точки $A_2$, симметричной точке $A(3; -1)$ относительно точки $M(2; -3)$:

$x_{A_2} = 2x_M - x_A = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$y_{A_2} = 2y_M - y_A = 2 \cdot (-3) - (-1) = -6 + 1 = -5$

Следовательно, координаты точки $A_2$ равны $(1; -5)$.

Найдем координаты точки $B_2$, симметричной точке $B(0; -2)$ относительно точки $M(2; -3)$:

$x_{B_2} = 2x_M - x_B = 2 \cdot 2 - 0 = 4$

$y_{B_2} = 2y_M - y_B = 2 \cdot (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$

Следовательно, координаты точки $B_2$ равны $(4; -4)$.

Ответ: $(1; -5)$ и $(4; -4)$.