Номер 707, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

... димапгн, н^г пармуннть ннгптн. центр камггприи.

707. Точки $A_1$ и $B_1$ являются образами соответственно точек $A$ и $B$ при симметрии относительно точки, не принадлежащей прямой $AB$. Докажите, что четырёхугольник $ABA_1B_1$ – параллелограмм.

Пусть симметрия задана относительно точки $O$. По условию, точки $A_1$ и $B_1$ являются образами точек $A$ и $B$ при симметрии относительно точки $O$.

По определению центральной симметрии:
1. Точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$, так как $A_1$ — образ точки $A$. Это означает, что отрезки $AO$ и $OA_1$ равны ($AO = OA_1$), и точки $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой.
2. Точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$, так как $B_1$ — образ точки $B$. Это означает, что отрезки $BO$ и $OB_1$ равны ($BO = OB_1$), и точки $B$, $O$, $B_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырёхугольник $ABA_1B_1$. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются его диагоналями, поскольку они соединяют противолежащие вершины.

Из определения симметрии следует, что эти диагонали пересекаются в точке $O$, и эта точка делит каждую из диагоналей пополам.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Поскольку диагонали четырёхугольника $ABA_1B_1$ — отрезки $AA_1$ и $BB_1$ — пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам, то четырёхугольник $ABA_1B_1$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $ABA_1B_1$ является параллелограммом.