Страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

699. Постройте параллелограмм $ABCD$ по его вершинам $A$ и $B$ и точке $O$ – точке пересечения его диагоналей (рис. 203).

Для построения параллелограмма $ABCD$ по заданным вершинам $A$ и $B$ и точке пересечения диагоналей $O$ необходимо использовать свойство диагоналей параллелограмма. Основное свойство заключается в том, что диагонали параллелограмма пересекаются и в точке пересечения делятся пополам.

Это означает, что точка $O$ является серединой диагонали $AC$ и одновременно серединой диагонали $BD$. Следовательно, отрезки $AO$ и $OC$ равны, а также равны отрезки $BO$ и $OD$. На этом свойстве и основано построение.

Алгоритм построения:

1. Провести прямую через точки $A$ и $O$.
2. На этой прямой от точки $O$ отложить отрезок $OC$, равный по длине отрезку $AO$, так, чтобы точка $O$ находилась между точками $A$ и $C$. Точка $C$ — третья вершина искомого параллелограмма.
3. Провести прямую через точки $B$ и $O$.
4. На этой прямой от точки $O$ отложить отрезок $OD$, равный по длине отрезку $BO$, так, чтобы точка $O$ находилась между точками $B$ и $D$. Точка $D$ — четвертая вершина искомого параллелограмма.
5. Последовательно соединить отрезками точки $A$, $B$, $C$ и $D$.

Обоснование:
В построенном четырехугольнике $ABCD$ диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. По построению мы имеем $AO = OC$ и $BO = OD$. Согласно признаку параллелограмма, если в четырехугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырехугольник является параллелограммом. Следовательно, построенная фигура $ABCD$ — искомый параллелограмм.

Ответ: Для построения параллелограмма $ABCD$ следует найти его недостающие вершины $C$ и $D$. Вершина $C$ строится как точка, симметричная вершине $A$ относительно точки $O$ (то есть на луче $AO$ откладывается отрезок $OC = AO$). Вершина $D$ строится как точка, симметричная вершине $B$ относительно точки $O$ (на луче $BO$ откладывается отрезок $OD = BO$). Последовательное соединение точек $A$, $B$, $C$, $D$ дает искомый параллелограмм.

700. Даны две параллельные прямые $a$ и $b$ (рис. 204). Найдите точку, относительно которой прямая $a$ будет симметрична прямой $b$.

Рис. 204

Центральной симметрией относительно точки $O$ называется преобразование плоскости, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что точка $O$ является серединой отрезка $MM'$. Прямая $a$ будет симметрична прямой $b$ относительно некоторой точки $O$, если каждая точка прямой $a$ при симметрии относительно $O$ переходит в точку на прямой $b$, и наоборот, каждая точка прямой $b$ переходит в точку на прямой $a$.

Для нахождения такой точки (центра симметрии) можно использовать следующий алгоритм:

1. Выбрать произвольную точку $A$ на прямой $a$.
2. Провести из точки $A$ перпендикуляр к прямой $b$. Пусть $B$ — точка пересечения этого перпендикуляра с прямой $b$.
3. Найти середину отрезка $AB$. Обозначим эту точку как $O$.

Эта точка $O$ и будет искомым центром симметрии.

Доказательство:

Пусть $A_1$ — любая другая точка на прямой $a$. Построим точку $B_1$, симметричную $A_1$ относительно точки $O$. По определению симметрии, $O$ является серединой отрезка $A_1B_1$.

Рассмотрим четырехугольник $AA_1B_1B$. Его диагонали $AB$ и $A_1B_1$ пересекаются в точке $O$, которая является серединой каждой из них. Четырехугольник, у которого диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, является параллелограммом.

Следовательно, $AA_1B_1B$ — параллелограмм. По свойству параллелограмма, его противоположные стороны параллельны, то есть $AA_1 \parallel BB_1$.

Так как точки $A$ и $A_1$ лежат на прямой $a$, то прямая, содержащая отрезок $AA_1$, совпадает с прямой $a$. Значит, прямая, проходящая через точки $B$ и $B_1$, параллельна прямой $a$.

По условию задачи, прямая $b$ также параллельна прямой $a$. Через точку $B$, принадлежащую прямой $b$, мы провели прямую $(BB_1)$, параллельную $a$. Согласно аксиоме параллельных прямых Евклида, через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Отсюда следует, что прямая $(BB_1)$ совпадает с прямой $b$.

Таким образом, точка $B_1$ лежит на прямой $b$. Поскольку $A_1$ была выбрана произвольно, мы показали, что любая точка прямой $a$ при симметрии относительно $O$ переходит в точку на прямой $b$.

Стоит отметить, что выбор начальной точки $A$ на прямой $a$ не влияет на результат. Если бы мы выбрали другую точку и повторили построение, мы бы получили другую точку, которая также являлась бы центром симметрии. Множество всех таких точек образует прямую, параллельную прямым $a$ и $b$ и равноудаленную от них.

Ответ: Искомой является любая точка, принадлежащая прямой, которая параллельна прямым $a$ и $b$ и расположена посередине между ними. Чтобы найти одну такую точку, достаточно выбрать на прямой $a$ произвольную точку, опустить из нее перпендикуляр на прямую $b$ и найти середину этого перпендикуляра.

701. На рисунке 205 изображены два равных отрезка $AB$ и $BC$ такие, что $\angle ABC = 60^\circ$. Найдите точку $O$ такую, что отрезок $AB$ — это образ отрезка $BC$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $120^\circ$.

Рис. 205

Пусть $O$ — искомая точка, являющаяся центром поворота. По условию, отрезок $AB$ является образом отрезка $BC$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $120^\circ$ против часовой стрелки.

Это означает, что при данном повороте конечные точки отрезка $BC$ переходят в конечные точки отрезка $AB$. Так как поворот — это движение, сохраняющее расстояния, то точка $C$ должна перейти в точку $B$, а точка $B$ — в точку $A$. (Случай, когда $B$ переходит в $B$, невозможен, так как тогда $O$ совпало бы с $B$, и при повороте отрезка $BC$ на $120^\circ$ вокруг $B$ угол $\angle ABC$ был бы равен $120^\circ$, что противоречит условию $\angle ABC = 60^\circ$).

Таким образом, мы имеем два условия:
1. Точка $B$ является образом точки $C$.
2. Точка $A$ является образом точки $B$.

Из определения поворота для этих условий следуют свойства точки $O$:
- Из первого условия следует, что точка $O$ равноудалена от точек $C$ и $B$, то есть $OC = OB$. Угол, образованный лучами $OC$ и $OB$, равен углу поворота: $\angle COB = 120^\circ$.
- Из второго условия следует, что точка $O$ равноудалена от точек $B$ и $A$, то есть $OB = OA$. Угол, образованный лучами $OB$ и $OA$, также равен углу поворота: $\angle BOA = 120^\circ$.

Из равенств $OC = OB$ и $OB = OA$ мы получаем, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$ и, следовательно, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, $AB = BC$ (треугольник равнобедренный) и угол между равными сторонами $\angle ABC = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Так как все три угла треугольника $ABC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности $O$ является его геометрическим центром, то есть точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Проверим, выполняются ли для этой точки угловые условия. Для центра $O$ равностороннего треугольника $ABC$ углы, под которыми видны стороны из центра, равны:
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.
Эти значения полностью соответствуют условиям $\angle COB = 120^\circ$ и $\angle BOA = 120^\circ$, которые мы вывели ранее.

Ответ: Искомая точка $O$ — это центр треугольника $ABC$, который в данном случае является равносторонним. Эта точка является точкой пересечения его медиан (а также биссектрис и высот).

702. На рисунке 206 изображены два равных отрезка $MN$ и $NK$ такие, что $\angle MNK = 90^\circ$. Найдите точку $O$ такую, что отрезок $NK$ – это образ отрезка $MN$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $90^\circ$.

Согласно условию задачи, отрезок $NK$ является образом отрезка $MN$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $90°$. Поворот является движением, поэтому он сохраняет расстояния между точками. Это означает, что концы отрезка $MN$ должны перейти в концы отрезка $NK$.

Рассмотрим преобразование конечных точек отрезка. Наиболее естественным является предположение, что начальная точка первого отрезка ($M$) переходит в начальную точку второго ($N$), а конечная точка первого ($N$) — в конечную точку второго ($K$).

1. Точка $M$ переходит в точку $N$.
По определению поворота, если точка $M$ при повороте вокруг центра $O$ переходит в точку $N$, то расстояния от центра поворота до этих точек равны: $OM = ON$. Угол, образованный лучами $OM$ и $ON$, равен углу поворота: $\angle MON = 90°$. Таким образом, треугольник $\triangle MON$ является равнобедренным и прямоугольным.

2. Точка $N$ переходит в точку $K$.
Аналогично, если точка $N$ при повороте вокруг того же центра $O$ переходит в точку $K$, то $ON = OK$ и $\angle NOK = 90°$. Следовательно, треугольник $\triangle NOK$ также является равнобедренным и прямоугольным.

Из этих двух условий мы получаем, что $OM = ON = OK$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $\triangle MNK$, то есть $O$ является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Из условия задачи известно, что $\angle MNK = 90°$. Треугольник $\triangle MNK$ является прямоугольным. Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, всегда находится в середине его гипотенузы.

В прямоугольном треугольнике $\triangle MNK$ гипотенузой является сторона $MK$, так как она лежит напротив прямого угла $N$.

Следовательно, искомая точка $O$ является серединой гипотенузы $MK$.

Чтобы найти точку $O$, необходимо соединить точки $M$ и $K$ отрезком и найти его середину.

Ответ: Точка $O$ является серединой отрезка $MK$.

703. Постройте фигуру, не имеющую осей симметрии, образом которой является сама эта фигура при повороте вокруг некоторой точки:

1) на угол $90^\circ$;

2) на угол $120^\circ$.

Для решения задачи необходимо построить фигуру, обладающую поворотной (вращательной) симметрией, но не имеющую осевой (зеркальной) симметрии. Это достигается путем выбора асимметричного базового элемента и его многократного поворота вокруг центра на заданный угол.

1) на угол 90°

Фигура должна совмещаться сама с собой при повороте на угол $90^{\circ}$ вокруг некоторой точки (центра симметрии). Это означает, что она обладает поворотной симметрией 4-го порядка, так как $360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$. При этом фигура не должна иметь осей симметрии.

Построение можно выполнить следующим образом:

1. Выберем на плоскости точку $O$ — центр поворота.
2. Создадим базовый асимметричный элемент. Например, построим ломаную линию $ABC$, где точки $A$, $B$, $C$ не лежат на одной прямой.
3. Расположим этот элемент так, чтобы точка $O$ не принадлежала ему.
4. Выполним поворот элемента $ABC$ вокруг точки $O$ на угол $90^{\circ}$.
5. Повторим поворот еще дважды, на углы $180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ относительно исходного положения.

Объединение исходного элемента и трех его копий, полученных в результате поворотов, образует искомую фигуру. По построению она будет симметрична относительно поворота на $90^{\circ}$. Так как исходный элемент асимметричен, у итоговой фигуры не будет осей симметрии.

Пример такой фигуры (похожей на вертушку или тетраскелион):

Ответ: Фигура, состоящая из любого асимметричного элемента (например, разностороннего треугольника или ломаной линии) и его образов, полученных поворотом на углы $90^{\circ}$, $180^{\circ}$ и $270^{\circ}$ вокруг некоторого центра. Пример такой фигуры приведен на рисунке выше.

2) на угол 120°

В этом случае фигура должна совмещаться сама с собой при повороте на угол $120^{\circ}$. Это означает, что она обладает поворотной симметрией 3-го порядка ($360^{\circ} / 120^{\circ} = 3$), но не должна иметь осей симметрии.

Алгоритм построения аналогичен предыдущему пункту:

1. Выберем на плоскости точку $O$ — центр поворота.
2. Создадим асимметричный базовый элемент, например, в виде изогнутой линии или разностороннего треугольника, не содержащего точку $O$.
3. Выполним поворот этого элемента вокруг точки $O$ на угол $120^{\circ}$.
4. Еще раз выполним поворот на $120^{\circ}$ (что эквивалентно повороту исходного элемента на $240^{\circ}$).

Фигура, образованная объединением исходного элемента и двух его повернутых копий, будет удовлетворять условиям задачи. Она обладает поворотной симметрией 3-го порядка по построению, но из-за асимметричности "мотива" лишена осевой симметрии.

Примером такой фигуры является трискелион:

Ответ: Фигура, состоящая из асимметричного элемента и его образов, полученных поворотом на углы $120^{\circ}$ и $240^{\circ}$ вокруг некоторого центра. Пример — трискелион, изображенный на рисунке выше.

704. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 207). Точка $M$ – середина стороны $BC$. Укажите образы точек $A$, $D$ и $M$, стороны $CD$, диагонали $BD$ при симметрии относительно точки $O$.

Рис. 207

Для решения задачи воспользуемся определением центральной симметрии: точка $A'$ является образом точки $A$ при симметрии относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Также используем свойство параллелограмма: его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Образ точки A
По свойству параллелограмма точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Согласно определению центральной симметрии, это означает, что точка $C$ является образом точки $A$ при симметрии относительно точки $O$.
Ответ: точка $C$.

Образ точки D
Аналогично, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Следовательно, образом точки $D$ при симметрии относительно точки $O$ является точка $B$.
Ответ: точка $B$.

Образ точки M
При центральной симметрии отрезок отображается на равный и параллельный ему отрезок. Найдем образ отрезка $BC$. Образом точки $B$ является точка $D$, а образом точки $C$ является точка $A$. Значит, образом отрезка $BC$ является отрезок $DA$. Поскольку точка $M$ является серединой стороны $BC$, ее образ (обозначим его $M'$) должен быть серединой образа отрезка $BC$, то есть серединой отрезка $DA$ (или $AD$).
Ответ: середина стороны $AD$.

Образ стороны CD
Чтобы найти образ отрезка $CD$, найдем образы его конечных точек $C$ и $D$. Как было установлено, образом точки $C$ является точка $A$, а образом точки $D$ является точка $B$. Следовательно, образом стороны $CD$ является сторона $AB$.
Ответ: сторона $AB$.

Образ диагонали BD
Найдем образы конечных точек диагонали $BD$. Образом точки $B$ при симметрии относительно $O$ является точка $D$, а образом точки $D$ является точка $B$. Таким образом, отрезок $BD$ отображается на отрезок $DB$, то есть сам на себя.
Ответ: диагональ $BD$.

705. Докажите, что точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

Пусть дан параллелограмм $ABCD$. Его диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. Необходимо доказать, что точка $O$ является центром симметрии параллелограмма.

По определению, точка является центром симметрии фигуры, если для каждой точки фигуры симметричная ей относительно данного центра точка также принадлежит этой фигуре.

По основному свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам. Это означает, что $AO = OC$ и $BO = OD$. Таким образом, точка $O$ является серединой диагоналей $AC$ и $BD$.

Из этого следует, что вершины параллелограмма симметричны друг другу относительно точки $O$:

• Вершина $A$ симметрична вершине $C$.
• Вершина $B$ симметрична вершине $D$.

Теперь докажем, что для любой точки $P$, лежащей на одной из сторон параллелограмма, симметричная ей точка $P'$ относительно $O$ также лежит на стороне параллелограмма.

Возьмем произвольную точку $P$ на стороне $AB$. Построим точку $P'$, симметричную точке $P$ относительно центра $O$. По определению центральной симметрии, точка $O$ — середина отрезка $PP'$, то есть $PO = OP'$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOP$ и $\triangle COP'$. В них:

• $AO = CO$ (по свойству диагоналей параллелограмма).
• $PO = P'O$ (по построению).
• $\angle AOP = \angle COP'$ (как вертикальные углы).

Следовательно, $\triangle AOP \cong \triangle COP'$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов и сторон:

• $\angle PAO = \angle P'CO$ (то же, что $\angle CAB = \angle ACD$).
• $AP = CP'$.

Углы $\angle CAB$ и $\angle ACD$ являются внутренними накрест лежащими при прямых $AB$ и $CD$ и секущей $AC$. Поскольку стороны параллелограмма $AB$ и $CD$ параллельны, то эти углы равны. Равенство $\angle PAO = \angle P'CO$ доказывает, что точка $P'$ лежит на прямой $CD$.

Так как точка $P$ принадлежит отрезку $AB$, то $AP \le AB$. Из равенства сторон $AP = CP'$ и $AB = CD$ (противоположные стороны параллелограмма) следует, что $CP' \le CD$. Это означает, что точка $P'$ принадлежит отрезку $CD$.

Таким образом, мы доказали, что любая точка стороны $AB$ имеет симметричную ей точку на стороне $CD$. Аналогично можно доказать, что любая точка стороны $BC$ имеет симметричную ей точку на стороне $DA$.

Поскольку каждая точка на границе параллелограмма имеет симметричную ей точку, также находящуюся на границе, то и вся фигура параллелограмма, включая его внутреннюю область, симметрична относительно точки $O$. Следовательно, точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелограмма.

Ответ: Утверждение доказано. Точка пересечения диагоналей параллелограмма является его центром симметрии.

имеет его центром симметрии.

706. Докажите, что окружность имеет центр симметрии.

Центром симметрии фигуры называется такая точка, относительно которой каждая точка данной фигуры симметрична некоторой другой точке этой же фигуры. Чтобы доказать, что окружность имеет центр симметрии, необходимо показать существование такой точки и доказать, что она удовлетворяет определению.

Рассмотрим окружность с центром в точке $C$ и радиусом $R$. Докажем, что центр окружности, точка $C$, и является её центром симметрии.

1. Пусть $A$ — произвольная точка, лежащая на данной окружности. По определению окружности, расстояние от центра $C$ до любой точки на ней равно радиусу $R$. Следовательно, длина отрезка $CA$ равна $R$, то есть $|CA| = R$.

2. Рассмотрим точку $A'$, которая симметрична точке $A$ относительно центра $C$. Согласно определению центральной симметрии, точка $C$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $C$ и $A'$ расположены на одной прямой, и расстояния от $C$ до $A$ и от $C$ до $A'$ равны: $|CA'| = |CA|$.

3. Используя оба факта, получаем: так как $|CA| = R$ и $|CA'| = |CA|$, то отсюда следует, что $|CA'| = R$.

4. Условие $|CA'| = R$ означает, что точка $A'$ также удалена от центра $C$ на расстояние, равное радиусу. По определению, любая точка, находящаяся на расстоянии $R$ от центра $C$, принадлежит этой окружности. Таким образом, точка $A'$ лежит на нашей окружности.

Поскольку точка $A$ была выбрана произвольно, данное утверждение справедливо для любой точки окружности. Мы доказали, что для каждой точки на окружности существует симметричная ей относительно центра $C$ точка, которая также принадлежит этой окружности. Следовательно, центр окружности является её центром симметрии. Что и требовалось доказать.

Ответ: Центр окружности является ее центром симметрии.

... димапгн, н^г пармуннть ннгптн. центр камггприи.

707. Точки $A_1$ и $B_1$ являются образами соответственно точек $A$ и $B$ при симметрии относительно точки, не принадлежащей прямой $AB$. Докажите, что четырёхугольник $ABA_1B_1$ – параллелограмм.

Пусть симметрия задана относительно точки $O$. По условию, точки $A_1$ и $B_1$ являются образами точек $A$ и $B$ при симметрии относительно точки $O$.

По определению центральной симметрии:
1. Точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$, так как $A_1$ — образ точки $A$. Это означает, что отрезки $AO$ и $OA_1$ равны ($AO = OA_1$), и точки $A$, $O$, $A_1$ лежат на одной прямой.
2. Точка $O$ является серединой отрезка $BB_1$, так как $B_1$ — образ точки $B$. Это означает, что отрезки $BO$ и $OB_1$ равны ($BO = OB_1$), и точки $B$, $O$, $B_1$ лежат на одной прямой.

Рассмотрим четырёхугольник $ABA_1B_1$. Отрезки $AA_1$ и $BB_1$ являются его диагоналями, поскольку они соединяют противолежащие вершины.

Из определения симметрии следует, что эти диагонали пересекаются в точке $O$, и эта точка делит каждую из диагоналей пополам.

Согласно одному из признаков параллелограмма, если диагонали четырёхугольника пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник является параллелограммом.

Поскольку диагонали четырёхугольника $ABA_1B_1$ — отрезки $AA_1$ и $BB_1$ — пересекаются в точке $O$ и делятся ею пополам, то четырёхугольник $ABA_1B_1$ является параллелограммом. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что четырёхугольник $ABA_1B_1$ является параллелограммом.

708. Найдите координаты точек, симметричных точкам $A (3; -1)$ и $B (0; -2)$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (2; -3).$

1) начала координат

Если точка $P'(x', y')$ симметрична точке $P(x, y)$ относительно начала координат $O(0, 0)$, то начало координат является серединой отрезка $PP'$. Это означает, что координаты симметричной точки противоположны по знаку координатам исходной точки: $x' = -x$ и $y' = -y$.

Найдем координаты точки $A_1$, симметричной точке $A(3; -1)$ относительно начала координат:

$x_{A_1} = -x_A = -3$

$y_{A_1} = -y_A = -(-1) = 1$

Следовательно, координаты точки $A_1$ равны $(-3; 1)$.

Найдем координаты точки $B_1$, симметричной точке $B(0; -2)$ относительно начала координат:

$x_{B_1} = -x_B = -0 = 0$

$y_{B_1} = -y_B = -(-2) = 2$

Следовательно, координаты точки $B_1$ равны $(0; 2)$.

Ответ: $(-3; 1)$ и $(0; 2)$.

2) точки M (2; -3)

Если точка $P'(x', y')$ симметрична точке $P(x, y)$ относительно точки $M(x_M, y_M)$, то точка $M$ является серединой отрезка $PP'$. Координаты симметричной точки $P'$ находятся по формулам середины отрезка:

$x_M = \frac{x + x'}{2} \implies x' = 2x_M - x$

$y_M = \frac{y + y'}{2} \implies y' = 2y_M - y$

Найдем координаты точки $A_2$, симметричной точке $A(3; -1)$ относительно точки $M(2; -3)$:

$x_{A_2} = 2x_M - x_A = 2 \cdot 2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$y_{A_2} = 2y_M - y_A = 2 \cdot (-3) - (-1) = -6 + 1 = -5$

Следовательно, координаты точки $A_2$ равны $(1; -5)$.

Найдем координаты точки $B_2$, симметричной точке $B(0; -2)$ относительно точки $M(2; -3)$:

$x_{B_2} = 2x_M - x_B = 2 \cdot 2 - 0 = 4$

$y_{B_2} = 2y_M - y_B = 2 \cdot (-3) - (-2) = -6 + 2 = -4$

Следовательно, координаты точки $B_2$ равны $(4; -4)$.

Ответ: $(1; -5)$ и $(4; -4)$.