Номер 704, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

704. Диагонали параллелограмма $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 207). Точка $M$ – середина стороны $BC$. Укажите образы точек $A$, $D$ и $M$, стороны $CD$, диагонали $BD$ при симметрии относительно точки $O$.

Рис. 207

Для решения задачи воспользуемся определением центральной симметрии: точка $A'$ является образом точки $A$ при симметрии относительно центра $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Также используем свойство параллелограмма: его диагонали точкой пересечения делятся пополам.

Образ точки A
По свойству параллелограмма точка $O$ является серединой диагонали $AC$. Согласно определению центральной симметрии, это означает, что точка $C$ является образом точки $A$ при симметрии относительно точки $O$.
Ответ: точка $C$.

Образ точки D
Аналогично, точка $O$ является серединой диагонали $BD$. Следовательно, образом точки $D$ при симметрии относительно точки $O$ является точка $B$.
Ответ: точка $B$.

Образ точки M
При центральной симметрии отрезок отображается на равный и параллельный ему отрезок. Найдем образ отрезка $BC$. Образом точки $B$ является точка $D$, а образом точки $C$ является точка $A$. Значит, образом отрезка $BC$ является отрезок $DA$. Поскольку точка $M$ является серединой стороны $BC$, ее образ (обозначим его $M'$) должен быть серединой образа отрезка $BC$, то есть серединой отрезка $DA$ (или $AD$).
Ответ: середина стороны $AD$.

Образ стороны CD
Чтобы найти образ отрезка $CD$, найдем образы его конечных точек $C$ и $D$. Как было установлено, образом точки $C$ является точка $A$, а образом точки $D$ является точка $B$. Следовательно, образом стороны $CD$ является сторона $AB$.
Ответ: сторона $AB$.

Образ диагонали BD
Найдем образы конечных точек диагонали $BD$. Образом точки $B$ при симметрии относительно $O$ является точка $D$, а образом точки $D$ является точка $B$. Таким образом, отрезок $BD$ отображается на отрезок $DB$, то есть сам на себя.
Ответ: диагональ $BD$.