Номер 698, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

698. Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол $90^\circ$ (рис. 202).

Рис. 202

Для построения образа треугольника $ABC$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке, необходимо выполнить поворот каждой вершины треугольника ($A$, $B$, $C$) на заданный угол вокруг точки $O$. Образом треугольника $ABC$ будет треугольник $A'B'C'$, где $A'$, $B'$, $C'$ — образы точек $A$, $B$, $C$ соответственно.

Поворот точки $P$ вокруг центра $O$ на $90^\circ$ по часовой стрелке означает, что отрезок $OP'$ является результатом поворота отрезка $OP$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. При этом длины отрезков равны ($OP = OP'$), и угол $\angle POP'$ равен $90^\circ$.

Для удобства введем систему координат, приняв за единицу измерения одну клетку сетки. Пусть левый нижний угол видимой части сетки имеет координаты $(0, 0)$. Тогда координаты вершин треугольника и центра поворота будут:

$A(1, 2)$, $B(4, 2)$, $C(2, 1)$, $O(3, 4)$.

Будем строить образы вершин треугольника последовательно.

Чтобы найти образ точки $A$ (обозначим его $A'$) при повороте вокруг $O$, рассмотрим вектор $\vec{OA}$. Его координаты равны разности координат точки $A$ и точки $O$: $\vec{OA} = (1-3, 2-4) = (-2, -2)$.

При повороте вектора с координатами $(dx, dy)$ на $90^\circ$ по часовой стрелке его новые координаты становятся $(dy, -dx)$.

Таким образом, вектор $\vec{OA'}$ будет иметь координаты $(-2, -(-2)) = (-2, 2)$.

Теперь найдем координаты точки $A'$, прибавив к координатам центра $O$ координаты полученного вектора $\vec{OA'}$: $A' = (3, 4) + (-2, 2) = (1, 6)$.

Ответ: Координаты образа точки $A$ есть $A'(1, 6)$.

Аналогично найдем образ точки $B$ (обозначим его $B'$). Сначала вычислим координаты вектора $\vec{OB}$: $\vec{OB} = (4-3, 2-4) = (1, -2)$.

Повернем вектор $\vec{OB}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. Вектор $\vec{OB'}$ будет иметь координаты $(-2, -1)$.

Координаты точки $B'$ равны сумме координат точки $O$ и вектора $\vec{OB'}$: $B' = (3, 4) + (-2, -1) = (1, 3)$.

Ответ: Координаты образа точки $B$ есть $B'(1, 3)$.

Найдем образ точки $C$ (обозначим его $C'$). Вычислим координаты вектора $\vec{OC}$: $\vec{OC} = (2-3, 1-4) = (-1, -3)$.

Повернем вектор $\vec{OC}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. Вектор $\vec{OC'}$ будет иметь координаты $(-3, -(-1)) = (-3, 1)$.

Координаты точки $C'$ равны сумме координат точки $O$ и вектора $\vec{OC'}$: $C' = (3, 4) + (-3, 1) = (0, 5)$.

Ответ: Координаты образа точки $C$ есть $C'(0, 5)$.

Соединив полученные точки $A'(1, 6)$, $B'(1, 3)$ и $C'(0, 5)$ отрезками, мы получим искомый треугольник $A'B'C'$. Это и есть образ треугольника $ABC$ при заданном повороте.

Чтобы нарисовать полученный треугольник на сетке, необходимо отметить точки с найденными координатами и соединить их.

Ответ: Искомый образ — это треугольник $A'B'C'$ с вершинами в точках $A'(1, 6)$, $B'(1, 3)$ и $C'(0, 5)$.