Номер 7, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

7. Опишите преобразование поворота вокруг точки.

Поворот плоскости вокруг заданной точки $O$ (центра поворота) на заданный угол $\alpha$ — это такое преобразование плоскости (движение), при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A'$ так, что выполняются два условия:

1. Расстояние от центра поворота до точки $A$ равно расстоянию от центра поворота до ее образа $A'$. Математически это записывается как $OA = OA'$.
2. Угол между лучами $OA$ и $OA'$ равен углу поворота $\alpha$. Математически: $\angle AOA' = \alpha$.

Сам центр поворота $O$ при таком преобразовании остается неподвижным (переходит сам в себя).

Направление поворота определяется знаком угла $\alpha$. Положительным направлением принято считать вращение против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

В координатной плоскости, если центр поворота находится в начале координат $O(0, 0)$, а точка $A$ имеет координаты $(x, y)$, то координаты ее образа $A'(x', y')$, полученного поворотом на угол $\alpha$ против часовой стрелки, вычисляются по формулам:

• $x' = x \cdot \cos(\alpha) - y \cdot \sin(\alpha)$
• $y' = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha)$

Поворот является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, при повороте любая фигура переходит в равную ей фигуру.

Ответ: Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка $A$ плоскости отображается на такую точку $A'$, что $OA = OA'$ и $\angle AOA' = \alpha$.