Номер 695, страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

695. Начертите треугольник $ABC$. Постройте треугольник, симметричный данному относительно середины стороны $AB$.

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно середины стороны $AB$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.
2. Найдем середину стороны $AB$. Обозначим эту точку буквой $M$. Точка $M$ является центром симметрии. По определению середины отрезка, $AM = MB$.
3. Построим точки, симметричные вершинам треугольника $ABC$ относительно точки $M$. Обозначим их $A'$, $B'$, $C'$.
   • Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $M$. Так как $M$ – середина $AB$, то точка $A'$ совпадает с точкой $B$. То есть, $A' = B$.
   • Точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $M$. Аналогично, точка $B'$ совпадает с точкой $A$. То есть, $B' = A$.
   • Точка $C'$ симметрична точке $C$ относительно $M$. Для ее построения проведем луч $CM$ и отложим на нем от точки $M$ отрезок $MC'$, равный отрезку $CM$. Точки $C$, $M$ и $C'$ будут лежать на одной прямой, и $CM = MC'$.
4. Соединим полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ (который является треугольником $BAC'$) и будет искомым треугольником, симметричным треугольнику $ABC$ относительно середины стороны $AB$.

В результате построения мы получим два треугольника, $ABC$ и $BAC'$, которые вместе образуют четырехугольник $ACBC'$. В этом четырехугольнике диагонали $AB$ и $CC'$ пересекаются в точке $M$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $ACBC'$ является параллелограммом.

На рисунке показан исходный треугольник $ABC$ (синий), центр симметрии $M$ (середина $AB$) и построенный симметричный треугольник $A'B'C'$ или $BAC'$ (красный).

Ответ: Построение сводится к нахождению середины $M$ стороны $AB$ и построению точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно $M$. Искомый треугольник будет иметь вершины в точках $B$, $A$ и $C'$.