Номер 701, страница 173 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

701. На рисунке 205 изображены два равных отрезка $AB$ и $BC$ такие, что $\angle ABC = 60^\circ$. Найдите точку $O$ такую, что отрезок $AB$ — это образ отрезка $BC$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $120^\circ$.

Рис. 205

Пусть $O$ — искомая точка, являющаяся центром поворота. По условию, отрезок $AB$ является образом отрезка $BC$ при повороте вокруг точки $O$ на угол $120^\circ$ против часовой стрелки.

Это означает, что при данном повороте конечные точки отрезка $BC$ переходят в конечные точки отрезка $AB$. Так как поворот — это движение, сохраняющее расстояния, то точка $C$ должна перейти в точку $B$, а точка $B$ — в точку $A$. (Случай, когда $B$ переходит в $B$, невозможен, так как тогда $O$ совпало бы с $B$, и при повороте отрезка $BC$ на $120^\circ$ вокруг $B$ угол $\angle ABC$ был бы равен $120^\circ$, что противоречит условию $\angle ABC = 60^\circ$).

Таким образом, мы имеем два условия:
1. Точка $B$ является образом точки $C$.
2. Точка $A$ является образом точки $B$.

Из определения поворота для этих условий следуют свойства точки $O$:
- Из первого условия следует, что точка $O$ равноудалена от точек $C$ и $B$, то есть $OC = OB$. Угол, образованный лучами $OC$ и $OB$, равен углу поворота: $\angle COB = 120^\circ$.
- Из второго условия следует, что точка $O$ равноудалена от точек $B$ и $A$, то есть $OB = OA$. Угол, образованный лучами $OB$ и $OA$, также равен углу поворота: $\angle BOA = 120^\circ$.

Из равенств $OC = OB$ и $OB = OA$ мы получаем, что $OA = OB = OC$. Это означает, что точка $O$ равноудалена от всех трех вершин треугольника $ABC$ и, следовательно, является центром окружности, описанной около этого треугольника.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По условию задачи, $AB = BC$ (треугольник равнобедренный) и угол между равными сторонами $\angle ABC = 60^\circ$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, поэтому:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 60^\circ) / 2 = 120^\circ / 2 = 60^\circ$.
Так как все три угла треугольника $ABC$ равны $60^\circ$, он является равносторонним.

В равностороннем треугольнике центр описанной окружности $O$ является его геометрическим центром, то есть точкой пересечения медиан, биссектрис и высот. Проверим, выполняются ли для этой точки угловые условия. Для центра $O$ равностороннего треугольника $ABC$ углы, под которыми видны стороны из центра, равны:
$\angle AOB = \angle BOC = \angle COA = \frac{360^\circ}{3} = 120^\circ$.
Эти значения полностью соответствуют условиям $\angle COB = 120^\circ$ и $\angle BOA = 120^\circ$, которые мы вывели ранее.

Ответ: Искомая точка $O$ — это центр треугольника $ABC$, который в данном случае является равносторонним. Эта точка является точкой пересечения его медиан (а также биссектрис и высот).