Страница 172 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Какие точки называют симметричными относительно точки $O$? Как называют точку $O$?

Какие точки называют симметричными относительно точки O?

Две точки, назовем их $A$ и $A'$, называют симметричными относительно точки $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. Это означает, что точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой и расстояния от точек $A$ и $A'$ до точки $O$ равны, то есть $AO = OA'$.
Ответ: Точки, для которых точка $O$ является серединой соединяющего их отрезка.

Как называют точку O?

Точку $O$, относительно которой две другие точки симметричны, называют центром симметрии.
Ответ: Центр симметрии.

2. Какие фигуры называют симметричными относительно точки $O$?

Две фигуры называют симметричными относительно точки $O$, если при преобразовании симметрии относительно этой точки одна фигура переходит в другую. Это означает, что каждая точка $A$ одной фигуры имеет соответствующую ей симметричную точку $A'$ в другой фигуре.

Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра симметрии $O$, если точка $O$ является серединой отрезка $AA'$. При этом должны выполняться два условия:

1. Точки $A$, $O$ и $A'$ лежат на одной прямой.
2. Расстояния от центра симметрии $O$ до точек $A$ и $A'$ равны, то есть $AO = OA'$.

Преобразование симметрии относительно точки также называют центральной симметрией или поворотом на 180 градусов вокруг центра симметрии.

Если фигура при симметрии относительно некоторой точки $O$ переходит сама в себя, то такую фигуру называют центрально-симметричной, а точку $O$ — её центром симметрии. Примерами таких фигур являются окружность (центр симметрии — её геометрический центр), параллелограмм (центр симметрии — точка пересечения диагоналей) и прямая (любая её точка является центром симметрии).

Ответ: Фигуры называют симметричными относительно точки $O$, если каждая точка одной фигуры симметрична некоторой точке другой фигуры относительно точки $O$, и наоборот. Если фигура симметрична сама себе относительно точки $O$, то она называется центрально-симметричной.

3. Сформулируйте свойство центральной симметрии.

Центральная симметрия относительно точки $O$ — это преобразование, при котором любая точка $A$ переходит в точку $A'$, такую, что точка $O$ является серединой отрезка $AA'$.

Основное свойство центральной симметрии заключается в том, что она является движением (изометрией). Это означает, что данное преобразование сохраняет расстояние между любыми двумя точками. Если точки $A$ и $B$ переходят в точки $A'$ и $B'$, то расстояние $AB$ равно расстоянию $A'B'$.

Из этого основного свойства вытекают другие важные свойства (следствия):

• При центральной симметрии прямая переходит в параллельную ей прямую (или в саму себя, если центр симметрии лежит на этой прямой).
• Отрезок переходит в равный ему и параллельный отрезок.
• Луч переходит в противоположно направленный ему луч.
• Угол переходит в равный ему угол.
• Любая фигура переходит в равную ей фигуру.
• Единственная точка, которая при центральной симметрии остается на месте (неподвижная точка), — это ее центр.

Ответ: Центральная симметрия является движением (изометрией), то есть преобразованием, сохраняющим расстояния. Она переводит любую прямую в параллельную ей прямую (или в саму себя), а любую фигуру — в равную ей фигуру.

4. Каким свойством обладают фигуры, симметричные относительно точки?

Фигуры, симметричные относительно точки (такой вид симметрии называется центральной симметрией), обладают фундаментальным свойством: они равны (конгруэнтны) друг другу. Это главное свойство, из которого вытекают все остальные.

Рассмотрим это свойство и его следствия подробнее.

1. Центральная симметрия является движением (изометрией).
Движение в геометрии — это преобразование, которое сохраняет расстояния между точками. По определению, точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$. Можно доказать, что при таком преобразовании для любых двух точек $M$ и $N$ исходной фигуры и их симметричных образов $M'$ и $N'$ расстояние между ними сохраняется: $MN = M'N'$.
Поскольку центральная симметрия сохраняет расстояния, она также сохраняет:
- Длины отрезков.
- Величины углов.
- Площадь фигуры.
Следовательно, фигура, полученная в результате центральной симметрии, является точной копией исходной фигуры по форме и размеру, то есть эти фигуры равны.

2. Центральная симметрия эквивалентна повороту на 180°.
Преобразование центральной симметрии относительно точки $O$ можно также рассматривать как поворот фигуры на 180 градусов вокруг этой точки $O$. Если повернуть фигуру на пол-оборота вокруг центра симметрии, она полностью совпадет со своей симметричной копией.
Это свойство наглядно объясняет, почему, например, прямая, не проходящая через центр симметрии, переходит в параллельную ей прямую, а прямая, проходящая через центр, переходит в саму себя.

Ответ: Основное свойство фигур, симметричных относительно точки, заключается в том, что они равны (конгруэнтны) друг другу. Это является следствием того, что центральная симметрия — это движение (изометрия), сохраняющее расстояния, которое также эквивалентно повороту на 180° вокруг центра симметрии.

5. О какой фигуре говорят, что она имеет центр симметрии?

5. Говорят, что фигура имеет центр симметрии, если существует такая точка $O$, называемая центром симметрии, что для каждой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно центра $O$, также принадлежит этой фигуре.

Точка $O$ является центром симметрии, если она служит серединой отрезка $AA'$ для любой точки $A$ фигуры. Иными словами, если повернуть фигуру на $180^\circ$ вокруг ее центра симметрии $O$, она полностью совпадет сама с собой. Такое преобразование называется центральной симметрией.

Примеры фигур, имеющих центр симметрии:

• Окружность (центр окружности является ее центром симметрии).
• Параллелограмм (центр симметрии — точка пересечения его диагоналей). Сюда же относятся его частные случаи: ромб, прямоугольник, квадрат.
• Отрезок (центр симметрии — его середина).
• Прямая (любая точка на прямой является ее центром симметрии).
• Правильный многоугольник с четным числом сторон (например, правильный шестиугольник или восьмиугольник).

Ответ: Фигура имеет центр симметрии, если существует точка (называемая центром симметрии), такая, что для любой точки фигуры точка, симметричная ей относительно этого центра, также принадлежит данной фигуре.

6. Приведите примеры фигур, имеющих центр симметрии.

Фигура называется симметричной относительно точки $O$, если для каждой точки $A$ фигуры точка $A'$, симметричная точке $A$ относительно точки $O$, также принадлежит этой фигуре. Точка $O$ называется центром симметрии фигуры. Точка $A'$ называется симметричной точке $A$ относительно центра $O$, если $O$ является серединой отрезка $AA'$. Другими словами, центральная симметрия эквивалентна повороту фигуры на $180^\circ$ вокруг ее центра симметрии.

Ниже приведены примеры фигур, обладающих центром симметрии:

• Окружность и круг
  Центром симметрии является центр окружности (или круга). Для любой точки на окружности симметричная ей точка относительно центра (диаметрально противоположная) также лежит на этой окружности.

• Параллелограмм
  Центром симметрии параллелограмма является точка пересечения его диагоналей. Поскольку диагонали параллелограмма делят друг друга пополам в точке пересечения, любая вершина или точка на стороне имеет симметричную ей точку относительно этого центра.

• Прямоугольник, ромб, квадрат
  Эти фигуры являются частными случаями параллелограмма, поэтому их центром симметрии также является точка пересечения диагоналей.

• Отрезок
  Центром симметрии отрезка является его середина.

• Прямая
  Любая точка прямой является ее центром симметрии. Если взять любую точку $O$ на прямой и любую другую точку $A$ на той же прямой, то точка $A'$, симметричная $A$ относительно $O$, также будет лежать на этой прямой.

• Правильные многоугольники с четным числом сторон
  Например, правильный шестиугольник или восьмиугольник. Центром симметрии таких фигур является их геометрический центр (точка пересечения больших диагоналей).

• Эллипс
  Центром симметрии эллипса является его центр — точка пересечения большой и малой осей.

Ответ: Примерами фигур, имеющих центр симметрии, являются окружность, параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, отрезок, прямая, правильный шестиугольник.

7. Опишите преобразование поворота вокруг точки.

Поворот плоскости вокруг заданной точки $O$ (центра поворота) на заданный угол $\alpha$ — это такое преобразование плоскости (движение), при котором каждая точка $A$ переходит в точку $A'$ так, что выполняются два условия:

1. Расстояние от центра поворота до точки $A$ равно расстоянию от центра поворота до ее образа $A'$. Математически это записывается как $OA = OA'$.
2. Угол между лучами $OA$ и $OA'$ равен углу поворота $\alpha$. Математически: $\angle AOA' = \alpha$.

Сам центр поворота $O$ при таком преобразовании остается неподвижным (переходит сам в себя).

Направление поворота определяется знаком угла $\alpha$. Положительным направлением принято считать вращение против часовой стрелки, а отрицательным — по часовой стрелке.

В координатной плоскости, если центр поворота находится в начале координат $O(0, 0)$, а точка $A$ имеет координаты $(x, y)$, то координаты ее образа $A'(x', y')$, полученного поворотом на угол $\alpha$ против часовой стрелки, вычисляются по формулам:

• $x' = x \cdot \cos(\alpha) - y \cdot \sin(\alpha)$
• $y' = x \cdot \sin(\alpha) + y \cdot \cos(\alpha)$

Поворот является движением, то есть преобразованием, сохраняющим расстояния между точками. Следовательно, при повороте любая фигура переходит в равную ей фигуру.

Ответ: Поворот вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это геометрическое преобразование, при котором каждая точка $A$ плоскости отображается на такую точку $A'$, что $OA = OA'$ и $\angle AOA' = \alpha$.

8. Сформулируйте свойство поворота.

Поворот плоскости вокруг точки $O$ на угол $\alpha$ — это преобразование плоскости на себя, при котором каждая точка $M$ переходит в такую точку $M'$, что расстояние $OM$ равно расстоянию $OM'$ и угол $\angle MOM'$ равен $\alpha$. Точка $O$ называется центром поворота, а угол $\alpha$ — углом поворота.

Основные свойства поворота:

• Поворот является движением (изометрией).

  Это фундаментальное свойство, означающее, что поворот сохраняет расстояния между любыми двумя точками. Если точки $A$ и $B$ при повороте переходят в точки $A'$ и $B'$, то длина отрезка $AB$ равна длине отрезка $A'B'$ ($|AB| = |A'B'$).

  Следствия из этого свойства:

  • Поворот переводит прямые в прямые, лучи в лучи, отрезки в равные им отрезки.
  • Поворот переводит углы в равные им углы.
  • Поворот переводит любую фигуру в конгруэнтную ей фигуру.
• Единственная неподвижная точка — центр поворота.

  При повороте на угол $\alpha$, не кратный $360^\circ$ ($\alpha \neq n \cdot 360^\circ$, где $n$ — целое число), единственной точкой, которая остается на своем месте (переходит в себя), является центр поворота $O$. Если угол поворота кратен $360^\circ$, то преобразование является тождественным, и каждая точка плоскости неподвижна.

• Сохранение ориентации.

  Поворот является преобразованием первого рода, то есть он сохраняет ориентацию плоскости. Например, если обход вершин треугольника $ABC$ осуществлялся по часовой стрелке, то обход соответствующих вершин $A'B'C'$ в повернутом треугольнике также будет осуществляться по часовой стрелке.

• Композиция поворотов.

  Последовательное выполнение двух поворотов с общим центром $O$ на углы $\alpha$ и $\beta$ равносильно одному повороту с тем же центром $O$ на угол $\alpha + \beta$. Преобразование, обратное повороту на угол $\alpha$, является поворотом на угол $-\alpha$ вокруг того же центра.

Ответ: Основное свойство поворота заключается в том, что он является движением (изометрией), то есть сохраняет расстояния между точками и, как следствие, переводит фигуры в конгруэнтные им фигуры. Другими важными свойствами являются наличие единственной неподвижной точки — центра поворота (при угле, не кратном 360°), и сохранение ориентации плоскости.

9. Каким свойством обладают фигуры, если одна из них является образом другой при повороте?

Если одна фигура является образом другой при повороте, то эти фигуры обладают свойством равенства, или, как говорят в геометрии, они конгруэнтны.

Разберем это подробнее. Поворот — это вид геометрического преобразования, которое относится к классу движений (или изометрий). Главная особенность любого движения заключается в том, что оно сохраняет расстояния между точками. Это значит, что если мы возьмем любые две точки $A$ и $B$ в исходной фигуре, и при повороте они перейдут в точки $A'$ и $B'$, то расстояние между $A$ и $B$ будет равно расстоянию между $A'$ и $B'$.

Из сохранения расстояний следует, что поворот сохраняет и другие геометрические свойства фигуры. В частности:

• Длины отрезков остаются неизменными.
• Величины углов не меняются.
• Форма и размеры фигуры полностью сохраняются.
• Площадь фигуры остается той же.

Таким образом, фигура-образ, полученная в результате поворота, является точной копией исходной фигуры, просто расположенной в другом месте или под другим углом на плоскости. Две фигуры, которые можно совместить друг с другом движением, по определению называются равными (конгруэнтными).

Ответ: Фигуры равны (конгруэнтны).

694. Начертите треугольник $ABC$ и отметьте точку $O$, не принадлежащую ему. Постройте треугольник, симметричный данному относительно точки $O$.

Для построения треугольника, симметричного данному треугольнику $ABC$ относительно точки $O$, необходимо выполнить последовательное построение точек, симметричных каждой из его вершин ($A, B, C$) относительно центра симметрии $O$.

Построение точки $A_1$, симметричной вершине $A$

Проводим луч из вершины $A$ через точку $O$. С помощью циркуля измеряем расстояние $AO$. На продолжении луча $AO$ за точкой $O$ откладываем отрезок $OA_1$, равный по длине отрезку $AO$. Таким образом, точка $O$ является серединой отрезка $AA_1$. Полученная точка $A_1$ – это искомая точка, симметричная $A$.

Построение точки $B_1$, симметричной вершине $B$

Выполняем аналогичное построение для вершины $B$. Проводим луч из $B$ через $O$. На этом луче за точкой $O$ откладываем отрезок $OB_1$ так, чтобы его длина была равна длине отрезка $OB$. Точка $B_1$ будет симметрична точке $B$ относительно $O$.

Построение точки $C_1$, симметричной вершине $C$

Повторяем ту же процедуру для вершины $C$. Проводим луч $CO$ и находим на его продолжении точку $C_1$ такую, что выполняется равенство $OC_1 = OC$.

Построение итогового треугольника

Соединяем отрезками полученные точки $A_1, B_1$ и $C_1$. В результате получаем треугольник $A_1B_1C_1$. Этот треугольник и является искомым, так как все его вершины симметричны соответствующим вершинам треугольника $ABC$ относительно точки $O$.

Ответ: Искомый треугольник $A_1B_1C_1$ строится путем нахождения точек $A_1, B_1, C_1$, симметричных соответственно вершинам $A, B, C$ относительно центра $O$, и последующего их соединения отрезками.

695. Начертите треугольник $ABC$. Постройте треугольник, симметричный данному относительно середины стороны $AB$.

Для построения треугольника, симметричного треугольнику $ABC$ относительно середины стороны $AB$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Начертим произвольный треугольник $ABC$.
2. Найдем середину стороны $AB$. Обозначим эту точку буквой $M$. Точка $M$ является центром симметрии. По определению середины отрезка, $AM = MB$.
3. Построим точки, симметричные вершинам треугольника $ABC$ относительно точки $M$. Обозначим их $A'$, $B'$, $C'$.
   • Точка $A'$ симметрична точке $A$ относительно $M$. Так как $M$ – середина $AB$, то точка $A'$ совпадает с точкой $B$. То есть, $A' = B$.
   • Точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно $M$. Аналогично, точка $B'$ совпадает с точкой $A$. То есть, $B' = A$.
   • Точка $C'$ симметрична точке $C$ относительно $M$. Для ее построения проведем луч $CM$ и отложим на нем от точки $M$ отрезок $MC'$, равный отрезку $CM$. Точки $C$, $M$ и $C'$ будут лежать на одной прямой, и $CM = MC'$.
4. Соединим полученные точки $A'$, $B'$, $C'$. Полученный треугольник $A'B'C'$ (который является треугольником $BAC'$) и будет искомым треугольником, симметричным треугольнику $ABC$ относительно середины стороны $AB$.

В результате построения мы получим два треугольника, $ABC$ и $BAC'$, которые вместе образуют четырехугольник $ACBC'$. В этом четырехугольнике диагонали $AB$ и $CC'$ пересекаются в точке $M$ и делятся этой точкой пополам. Следовательно, четырехугольник $ACBC'$ является параллелограммом.

На рисунке показан исходный треугольник $ABC$ (синий), центр симметрии $M$ (середина $AB$) и построенный симметричный треугольник $A'B'C'$ или $BAC'$ (красный).

Ответ: Построение сводится к нахождению середины $M$ стороны $AB$ и построению точки $C'$, симметричной точке $C$ относительно $M$. Искомый треугольник будет иметь вершины в точках $B$, $A$ и $C'$.

696. Начертите окружность и отметьте на ней точку. Постройте окружность, симметричную данной относительно отмеченной точки.

Для решения задачи необходимо выполнить пошаговое построение, основанное на свойствах центральной симметрии.

Начертите окружность и отметьте на ней точку.

С помощью циркуля и линейки начертим произвольную окружность. Обозначим ее центр точкой $O$, а ее радиус — переменной $R$. Затем на построенной окружности выберем и отметим произвольную точку $A$. Эта точка, по условию задачи, будет являться центром симметрии.

Постройте окружность, симметричную данной относительно отмеченной точки.

Окружность однозначно задается своим центром и радиусом. Чтобы построить новую окружность, симметричную исходной, нам нужно найти ее центр и радиус. Пусть искомая окружность имеет центр в точке $O'$ и радиус $R'$.

1. Нахождение центра $O'$.
По определению центральной симметрии, образ центра исходной окружности $O$ при симметрии относительно точки $A$ будет являться центром $O'$ новой окружности. Это означает, что точка $A$ — середина отрезка $OO'$.
Для построения точки $O'$ выполним следующие действия:
- Проведем прямую через точки $O$ и $A$.
- На этой прямой, от точки $A$, в направлении, противоположном точке $O$, отложим отрезок $AO'$, длина которого равна длине отрезка $OA$.
Поскольку точка $A$ лежит на окружности с центром $O$, расстояние $OA$ равно радиусу $R$. Таким образом, $AO' = OA = R$. Точка $O'$ найдена.

2. Определение радиуса $R'$.
Центральная симметрия является движением (изометрией), то есть преобразованием плоскости, сохраняющим расстояния между точками. Это означает, что фигура, симметричная окружности, также является окружностью, причем ее радиус $R'$ равен радиусу $R$ исходной окружности. Следовательно, $R' = R$.

3. Построение искомой окружности.
Теперь у нас есть все данные для построения: центр $O'$ и радиус $R$. Установим острие циркуля в точку $O'$, зададим раствор циркуля равным радиусу $R$ и проведем окружность.
Эта новая окружность и будет симметричной данной относительно точки $A$. Заметим, что построенная окружность касается исходной в точке $A$.

Ответ: Чтобы построить окружность, симметричную данной окружности (с центром $O$ и радиусом $R$) относительно точки $A$ на ней, необходимо: 1) найти точку $O'$, симметричную центру $O$ относительно точки $A$ (для этого нужно продлить радиус $OA$ за точку $A$ на расстояние, равное $R$); 2) из точки $O'$ как из центра построить новую окружность с тем же радиусом $R$.

697. Постройте образ отрезка $AB$ при повороте вокруг центра $O$ против часовой стрелки на угол $45^\circ$ (рис. 201).

Рис. 201

Для построения образа отрезка $AB$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $45^\circ$ против часовой стрелки необходимо выполнить поворот его концов, точек $A$ и $B$, а затем соединить полученные образы. Поворот — это геометрическое преобразование, при котором сохраняется расстояние от центра поворота до точки. То есть, если точка $A_1$ — это образ точки $A$ при повороте вокруг центра $O$, то $OA = OA_1$. Угол между отрезками $OA$ и $OA_1$ равен углу поворота.

Выполним построение по шагам:

1. Построение образа точки A
   • Соединяем точку $A$ с центром поворота $O$, получаем отрезок $OA$.
   • С помощью транспортира откладываем от луча $OA$ угол, равный $45^\circ$, в направлении против часовой стрелки.
   • На полученном луче от точки $O$ откладываем отрезок $OA_1$, длина которого равна длине отрезка $OA$. Это можно сделать с помощью циркуля, установив его раствор равным длине $OA$. Точка $A_1$ — искомый образ точки $A$.
2. Построение образа точки B
   • Аналогично, соединяем точку $B$ с центром поворота $O$, получаем отрезок $OB$.
   • От луча $OB$ откладываем угол $45^\circ$ против часовой стрелки.
   • На новом луче от точки $O$ откладываем отрезок $OB_1$, равный по длине отрезку $OB$. Точка $B_1$ — искомый образ точки $B$.
3. Построение образа отрезка AB
   • Соединяем полученные точки $A_1$ и $B_1$ отрезком.

Отрезок $A_1B_1$ является искомым образом отрезка $AB$.

Для проверки и большей точности можно применить координатный метод.

Введем систему координат, в которой одна клетка сетки соответствует единице длины. Исходя из рисунка, координаты точек будут следующими:

• $A(1, 3)$
• $B(5, 4)$
• $O(4, 1)$

Формулы поворота точки $(x, y)$ вокруг начала координат на угол $\alpha$ против часовой стрелки имеют вид:

$x' = x \cos \alpha - y \sin \alpha$

$y' = x \sin \alpha + y \cos \alpha$

Поскольку поворот осуществляется вокруг точки $O(4, 1)$, а не начала координат, мы сначала найдем векторы $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$, повернем их, а затем прибавим к координатам точки $O$, чтобы найти новые координаты точек $A_1$ и $B_1$.

$\vec{OA} = A - O = (1-4, 3-1) = (-3, 2)$

$\vec{OB} = B - O = (5-4, 4-1) = (1, 3)$

Выполним поворот векторов на угол $\alpha = 45^\circ$. Для этого угла $\cos 45^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Поворачиваем вектор $\vec{OA}$ для получения вектора $\vec{OA_1}$:

$x_{A_1} = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{5\sqrt{2}}{2}$

$y_{A_1} = -3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 2 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$

Поворачиваем вектор $\vec{OB}$ для получения вектора $\vec{OB_1}$:

$x_{B_1} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} - 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\frac{2\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2}$

$y_{B_1} = 1 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} + 3 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$

Теперь находим абсолютные координаты точек $A_1$ и $B_1$, прибавляя координаты точки $O$:

$A_1 = \vec{OA_1} + O = (-\frac{5\sqrt{2}}{2} + 4, -\frac{\sqrt{2}}{2} + 1) \approx (0.46, 0.29)$

$B_1 = \vec{OB_1} + O = (-\sqrt{2} + 4, 2\sqrt{2} + 1) \approx (2.59, 3.83)$

Результат построения показан на рисунке ниже.

Ответ: Чтобы построить образ отрезка $AB$, необходимо повернуть его концы, точки $A$ и $B$, вокруг центра $O$ на угол $45^\circ$ против часовой стрелки, получив точки $A_1$ и $B_1$. Искомый образ — это отрезок $A_1B_1$, соединяющий новые точки.

698. Постройте образ треугольника ABC при повороте вокруг центра O по часовой стрелке на угол $90^\circ$ (рис. 202).

Рис. 202

Для построения образа треугольника $ABC$ при повороте вокруг центра $O$ на угол $90^\circ$ по часовой стрелке, необходимо выполнить поворот каждой вершины треугольника ($A$, $B$, $C$) на заданный угол вокруг точки $O$. Образом треугольника $ABC$ будет треугольник $A'B'C'$, где $A'$, $B'$, $C'$ — образы точек $A$, $B$, $C$ соответственно.

Поворот точки $P$ вокруг центра $O$ на $90^\circ$ по часовой стрелке означает, что отрезок $OP'$ является результатом поворота отрезка $OP$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. При этом длины отрезков равны ($OP = OP'$), и угол $\angle POP'$ равен $90^\circ$.

Для удобства введем систему координат, приняв за единицу измерения одну клетку сетки. Пусть левый нижний угол видимой части сетки имеет координаты $(0, 0)$. Тогда координаты вершин треугольника и центра поворота будут:

$A(1, 2)$, $B(4, 2)$, $C(2, 1)$, $O(3, 4)$.

Будем строить образы вершин треугольника последовательно.

Чтобы найти образ точки $A$ (обозначим его $A'$) при повороте вокруг $O$, рассмотрим вектор $\vec{OA}$. Его координаты равны разности координат точки $A$ и точки $O$: $\vec{OA} = (1-3, 2-4) = (-2, -2)$.

При повороте вектора с координатами $(dx, dy)$ на $90^\circ$ по часовой стрелке его новые координаты становятся $(dy, -dx)$.

Таким образом, вектор $\vec{OA'}$ будет иметь координаты $(-2, -(-2)) = (-2, 2)$.

Теперь найдем координаты точки $A'$, прибавив к координатам центра $O$ координаты полученного вектора $\vec{OA'}$: $A' = (3, 4) + (-2, 2) = (1, 6)$.

Ответ: Координаты образа точки $A$ есть $A'(1, 6)$.

Аналогично найдем образ точки $B$ (обозначим его $B'$). Сначала вычислим координаты вектора $\vec{OB}$: $\vec{OB} = (4-3, 2-4) = (1, -2)$.

Повернем вектор $\vec{OB}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. Вектор $\vec{OB'}$ будет иметь координаты $(-2, -1)$.

Координаты точки $B'$ равны сумме координат точки $O$ и вектора $\vec{OB'}$: $B' = (3, 4) + (-2, -1) = (1, 3)$.

Ответ: Координаты образа точки $B$ есть $B'(1, 3)$.

Найдем образ точки $C$ (обозначим его $C'$). Вычислим координаты вектора $\vec{OC}$: $\vec{OC} = (2-3, 1-4) = (-1, -3)$.

Повернем вектор $\vec{OC}$ на $90^\circ$ по часовой стрелке. Вектор $\vec{OC'}$ будет иметь координаты $(-3, -(-1)) = (-3, 1)$.

Координаты точки $C'$ равны сумме координат точки $O$ и вектора $\vec{OC'}$: $C' = (3, 4) + (-3, 1) = (0, 5)$.

Ответ: Координаты образа точки $C$ есть $C'(0, 5)$.

Соединив полученные точки $A'(1, 6)$, $B'(1, 3)$ и $C'(0, 5)$ отрезками, мы получим искомый треугольник $A'B'C'$. Это и есть образ треугольника $ABC$ при заданном повороте.

Чтобы нарисовать полученный треугольник на сетке, необходимо отметить точки с найденными координатами и соединить их.

Ответ: Искомый образ — это треугольник $A'B'C'$ с вершинами в точках $A'(1, 6)$, $B'(1, 3)$ и $C'(0, 5)$.