Номер 714, страница 174 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

714. Диагонали квадрата $ABCD$ пересекаются в точке $O$ (рис. 211). Укажите образы точек $A$, $O$ и $C$, стороны $AD$, диагонали $BD$ при повороте вокруг точки $O$ по часовой стрелке на угол $90^\circ$.

Рис. 209

$A, B, C, O, A_1, B_1, C_1$

Рис. 210

$A, B, C, D, E, F, O$

Рис. 211

$A, B, C, D, O$

Рассмотрим поворот вокруг точки O на 90° по часовой стрелке. Точка O является центром квадрата ABCD и точкой пересечения его диагоналей.

В квадрате диагонали равны, взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Из этого следует, что $AO = BO = CO = DO$ и все углы при вершине O, образованные полудиагоналями, являются прямыми: $\angle AOB = \angle BOC = \angle COD = \angle DOA = 90^\circ$.

Образы точек A, O и C

• Для нахождения образа точки A, повернем отрезок OA на 90° по часовой стрелке. Он совместится с отрезком OD, так как $\angle AOD = 90^\circ$ и $OA = OD$. Следовательно, точка A переходит в точку D.
• Точка O является центром поворота, поэтому она остается на месте, то есть ее образ — это сама точка O.
• Для нахождения образа точки C, повернем отрезок OC на 90° по часовой стрелке. Он совместится с отрезком OB, так как $\angle COB = 90^\circ$ и $OC = OB$. Следовательно, точка C переходит в точку B.

Ответ: Образами точек A, O и C являются соответственно точки D, O и B.

Образ стороны AD

Чтобы найти образ отрезка, нужно найти образы его конечных точек. Мы уже определили, что образом точки A является точка D. Найдем образ точки D. При повороте на 90° по часовой стрелке вокруг O, отрезок OD совмещается с отрезком OC, так как $\angle DOC = 90^\circ$ и $OD = OC$. Таким образом, точка D переходит в точку C. Значит, отрезок AD переходит в отрезок DC.

Ответ: Образом стороны AD является сторона DC.

Образ диагонали BD

Найдем образы конечных точек диагонали B и D. Мы уже знаем, что образом точки D является точка C. Найдем образ точки B. При повороте на 90° по часовой стрелке вокруг O, отрезок OB совмещается с отрезком OA, так как $\angle BOA = 90^\circ$ и $OB = OA$. Таким образом, точка B переходит в точку A. Следовательно, диагональ BD переходит в отрезок, соединяющий точки A и C, то есть в диагональ AC.

Ответ: Образом диагонали BD является диагональ AC.