Номер 725, страница 175 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

725. На стороне $BC$ равностороннего треугольника $ABC$ отметили точку $D$. Вне треугольника $ABC$ выбрали точку $E$ такую, что треугольник $DEC$ – равносторонний (рис. 213). Докажите, что точка $C$ и середины отрезков $BE$ и $AD$ являются вершинами равностороннего треугольника.

Рис. 212

Рис. 213

Пусть $K$ — середина отрезка $AD$, а $M$ — середина отрезка $BE$. Требуется доказать, что треугольник $KMC$ является равносторонним.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники $\triangle ACD$ и $\triangle BCE$.

По условию, треугольник $ABC$ — равносторонний, следовательно, $AC = BC$ и $\angle ACB = 60^\circ$.

Также по условию, треугольник $DEC$ — равносторонний, следовательно, $CD = CE$ и $\angle DCE = 60^\circ$.

2. Сравним углы $\angle ACD$ и $\angle BCE$.

Точка $D$ лежит на стороне $BC$, поэтому луч $CD$ совпадает с лучом $CB$.

Отсюда следует, что угол $\angle ACD$ совпадает с углом $\angle ACB$. Таким образом, $\angle ACD = 60^\circ$.

Аналогично, угол $\angle BCE$ (угол между лучами $CB$ и $CE$) совпадает с углом $\angle DCE$ (угол между лучами $CD$ и $CE$). Таким образом, $\angle BCE = 60^\circ$.

Итак, мы имеем $\angle ACD = \angle BCE = 60^\circ$.

3. В треугольниках $\triangle ACD$ и $\triangle BCE$ стороны $AC=BC$, $CD=CE$ и углы между этими сторонами $\angle ACD = \angle BCE$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними), $\triangle ACD \cong \triangle BCE$.

Из равенства этих треугольников следует равенство соответствующих сторон и углов: $AD = BE$ и $\angle CDA = \angle CEB$.

4. Теперь рассмотрим треугольники $\triangle KCD$ и $\triangle MCE$.

Мы знаем, что $CD = CE$ (из условия).

Поскольку $K$ — середина $AD$, а $M$ — середина $BE$, то $KD = \frac{1}{2} AD$ и $ME = \frac{1}{2} BE$. Так как $AD = BE$, отсюда следует, что $KD = ME$.

Угол $\angle KDC$ — это тот же угол, что и $\angle ADC$. Угол $\angle MEC$ — это тот же угол, что и $\angle BEC$. Поскольку $\angle ADC = \angle BEC$, то и $\angle KDC = \angle MEC$.

5. В треугольниках $\triangle KCD$ и $\triangle MCE$ стороны $CD=CE$, $KD=ME$ и углы между ними $\angle KDC = \angle MEC$. Следовательно, по первому признаку равенства треугольников, $\triangle KCD \cong \triangle MCE$.

Из равенства этих треугольников следует, что $CK = CM$ и $\angle KCD = \angle MCE$.

6. Найдём величину угла $\angle KCM$. Угол $\angle DCE$ состоит из двух углов: $\angle KCD$ и $\angle KCE$? Нет. Угол $\angle DCE$ состоит из углов $\angle DCM$ и $\angle MCE$. То есть, $\angle DCE = \angle DCM + \angle MCE$.

Заменим в этом равенстве $\angle MCE$ на равный ему угол $\angle KCD$: $\angle DCE = \angle DCM + \angle KCD$.

Сумма углов $\angle DCM$ и $\angle KCD$ даёт угол $\angle KCM$. Следовательно, $\angle KCM = \angle DCE$.

Так как треугольник $DEC$ равносторонний, $\angle DCE = 60^\circ$. Значит, $\angle KCM = 60^\circ$.

7. Мы получили, что в треугольнике $KMC$ две стороны равны ($CK = CM$) и угол между ними равен $60^\circ$. Треугольник, обладающий таким свойством, является равносторонним.

Таким образом, доказано, что точка $C$ и середины отрезков $BE$ и $AD$ являются вершинами равностороннего треугольника.

Ответ: Утверждение доказано; точка $C$ и середины отрезков $BE$ и $AD$ являются вершинами равностороннего треугольника.