Номер 726, страница 176 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

726. Постройте равносторонний треугольник так, чтобы его вершины принадлежали трём данным параллельным прямым.

Данная задача на построение решается с помощью метода геометрических преобразований, а именно — поворота плоскости.

Анализ

Предположим, что искомый равносторонний треугольник $ABC$ построен, и его вершины $A, B$ и $C$ лежат на трёх данных параллельных прямых $l_1, l_2$ и $l_3$ соответственно.

Поскольку треугольник $ABC$ является равносторонним, его сторона $BC$ может быть получена из стороны $BA$ поворотом вокруг точки $B$ на угол $60^\circ$ (или $-60^\circ$). Это означает, что вершина $C$ является образом вершины $A$ при повороте вокруг центра $B$ на угол $60^\circ$.

Точка $A$ лежит на прямой $l_1$. Если мы повернём всю прямую $l_1$ вокруг точки $B$ на $60^\circ$, то образ точки $A$, то есть точка $C$, будет лежать на образе прямой $l_1$, который мы обозначим $l'_1$.

По условию задачи, точка $C$ также лежит на прямой $l_3$. Следовательно, точка $C$ должна быть точкой пересечения прямой $l_3$ и построенной прямой $l'_1$. Найдя точку $C$, а затем и точку $A$ (обратным поворотом), мы можем построить искомый треугольник.

Построение

1. На одной из прямых, например на средней $l_2$, выберем произвольную точку $B$. Она будет одной из вершин треугольника.

2. Построим образ прямой $l_1$ при повороте на $60^\circ$ вокруг точки $B$. Обозначим этот образ $l'_1$. Для этого достаточно повернуть любую одну точку $P$ с прямой $l_1$ вокруг $B$ на $60^\circ$ в точку $P'$ и провести через $P'$ прямую $l'_1$ так, чтобы угол между прямыми $l_1$ и $l'_1$ был равен $60^\circ$.

3. Найдём точку $C$ — точку пересечения прямой $l'_1$ с прямой $l_3$. Эта точка будет второй вершиной треугольника.

4. Для нахождения третьей вершины $A$ выполним обратное преобразование: повернём точку $C$ вокруг точки $B$ на угол $-60^\circ$. По построению, полученная точка $A$ будет лежать на прямой $l_1$.

5. Соединив точки $A, B$ и $C$, получим искомый равносторонний треугольник.

Доказательство

Проверим, что построенный треугольник $ABC$ удовлетворяет всем условиям задачи.

— Вершина $B$ лежит на прямой $l_2$ по построению (шаг 1).

— Вершина $C$ лежит на прямой $l_3$, так как является точкой пересечения $l'_1$ и $l_3$ (шаг 3).

— Вершина $A$ получена поворотом точки $C$ на $-60^\circ$ вокруг $B$. Так как $C \in l'_1$, а $l'_1$ есть образ $l_1$ при повороте на $60^\circ$ вокруг $B$, то прообраз точки $C$ — точка $A$ — лежит на исходной прямой $l_1$.

Таким образом, все три вершины лежат на заданных параллельных прямых.

По определению поворота, отрезок $BC$ является образом отрезка $BA$ при повороте на $60^\circ$ вокруг $B$. Следовательно, длины этих отрезков равны ($BC=BA$), а угол между ними $\angle ABC$ равен углу поворота, то есть $60^\circ$. Треугольник с двумя равными сторонами и углом $60^\circ$ между ними является равносторонним. Значит, $\triangle ABC$ — равносторонний.

Исследование

Задача имеет решение, если прямая $l'_1$ пересекает прямую $l_3$. Прямая $l_1$ параллельна прямой $l_3$. Прямая $l'_1$ получена поворотом $l_1$ на $60^\circ$, поэтому она не параллельна $l_1$ и, следовательно, не параллельна $l_3$. Две непараллельные прямые на плоскости всегда пересекаются, причём в единственной точке. Следовательно, точка $C$ всегда существует и единственна (для выбранной точки $B$ и направления поворота).

Поскольку точку $B$ на прямой $l_2$ можно выбрать бесконечным числом способов, существует бесконечное множество решений. Все такие треугольники будут иметь одинаковый размер (так как их высота, спроецированная на перпендикуляр к данным прямым, будет зависеть только от расстояний между прямыми), но разное положение.

Также поворот можно было осуществить на угол $-60^\circ$, что привело бы ко второму семейству решений. Таким образом, для каждой точки $B$ на $l_2$ существует, как правило, два решения, симметричных относительно прямой, перпендикулярной $l_1, l_2, l_3$ и проходящей через $B$.

Ответ: Искомый треугольник строится методом поворота. Выбирается произвольная точка $B$ на одной из прямых (например, на средней), одна из оставшихся прямых поворачивается на $60^\circ$ вокруг $B$. Точка пересечения повернутой прямой с третьей исходной прямой является второй вершиной $C$. Третья вершина $A$ находится обратным поворотом точки $C$ вокруг $B$. Задача всегда имеет решение, если даны три различные параллельные прямые.