Номер 554, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 15. Умножение вектора на число. Глава 4. Векторы - номер 554, страница 132.

Условие.

554. Дан вектор $\vec{b} (-3; 1)$. Найдите координаты вектора, коллинеарного вектору $\vec{b}$, модуль которого в два раза больше модуля вектора $\vec{b}$.

Сколько решений имеет задача?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 6.

Найдите координаты вектора, коллинеарного вектору $\vec{b}$, модуль которого в два раза больше модуля вектора $\vec{b}$.

Пусть искомый вектор $\vec{a}$ коллинеарен данному вектору $\vec{b}(-3; 1)$.

По определению коллинеарных векторов, существует такое число $k$, что $\vec{a} = k \cdot \vec{b}$. Тогда координаты вектора $\vec{a}$ можно выразить через координаты вектора $\vec{b}$:

$\vec{a} = (k \cdot (-3); k \cdot 1) = (-3k; k)$

По условию задачи, модуль вектора $\vec{a}$ в два раза больше модуля вектора $\vec{b}$. Запишем это в виде уравнения:

$|\vec{a}| = 2 \cdot |\vec{b}|$

Найдем модуль (длину) вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1} = \sqrt{10}$

Теперь найдем модуль вектора $\vec{a}$ через коэффициент $k$:

$|\vec{a}| = \sqrt{(-3k)^2 + k^2} = \sqrt{9k^2 + k^2} = \sqrt{10k^2} = |k|\sqrt{10}$

Подставим найденные значения модулей в наше уравнение $|\vec{a}| = 2 \cdot |\vec{b}|$:

$|k|\sqrt{10} = 2\sqrt{10}$

Разделив обе части уравнения на $\sqrt{10}$, получим:

$|k| = 2$

Это уравнение имеет два решения для $k$: $k_1 = 2$ и $k_2 = -2$.

Найдем координаты искомого вектора для каждого из значений $k$:

1. Если $k = 2$, то вектор $\vec{a_1}$ имеет координаты:

$\vec{a_1} = (-3 \cdot 2; 2) = (-6; 2)$

2. Если $k = -2$, то вектор $\vec{a_2}$ имеет координаты:

$\vec{a_2} = (-3 \cdot (-2); -2) = (6; -2)$

Ответ: $(-6; 2)$ и $(6; -2)$.

Сколько решений имеет задача?

Поскольку мы нашли два возможных значения для коэффициента $k$ ($k=2$ и $k=-2$), которые удовлетворяют всем условиям задачи, существует два вектора, являющихся решением. Один из них сонаправлен с вектором $\vec{b}$ (при $k>0$), а другой направлен противоположно (при $k<0$). Таким образом, задача имеет два решения.

Ответ: 2.