Номер 551, страница 132 - гдз по геометрии 9 класс учебник Мерзляк, Полонский

551. Даны векторы $\vec{m}(4; -6)$, $\vec{n}(-1; \frac{3}{2})$, $\vec{k}(3; -\frac{9}{2})$. Укажите пары сонаправленных и противоположно направленных векторов.

Два вектора $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Это означает, что существует такое число $\lambda$, что $\vec{a} = \lambda\vec{b}$, или, в координатной форме, $\frac{x_1}{x_2} = \frac{y_1}{y_2} = \lambda$.
Если коэффициент пропорциональности $\lambda > 0$, то векторы сонаправлены ($\vec{a} \uparrow\uparrow \vec{b}$).
Если $\lambda < 0$, то векторы противоположно направлены ($\vec{a} \uparrow\downarrow \vec{b}$).

Проверим попарно данные векторы: $\vec{m}(4; -6)$, $\vec{n}(-1; \frac{3}{2})$ и $\vec{k}(3; -\frac{9}{2})$.

Сонаправленные векторы

Проверим пару векторов $\vec{m}$ и $\vec{k}$. Найдем отношение их координат, чтобы найти коэффициент $\lambda$ такой, что $\vec{m} = \lambda\vec{k}$.
Отношение первых координат: $\frac{4}{3}$.
Отношение вторых координат: $\frac{-6}{-\frac{9}{2}} = 6 \cdot \frac{2}{9} = \frac{12}{9} = \frac{4}{3}$.
Поскольку отношения координат равны и коэффициент пропорциональности $\lambda = \frac{4}{3} > 0$, векторы $\vec{m}$ и $\vec{k}$ являются сонаправленными.
Ответ: $\vec{m}$ и $\vec{k}$.

Противоположно направленные векторы

1. Проверим пару векторов $\vec{m}$ и $\vec{n}$. Найдем коэффициент $\lambda$ такой, что $\vec{m} = \lambda\vec{n}$.
Отношение первых координат: $\frac{4}{-1} = -4$.
Отношение вторых координат: $\frac{-6}{\frac{3}{2}} = -6 \cdot \frac{2}{3} = -4$.
Коэффициент пропорциональности $\lambda = -4 < 0$, следовательно, векторы $\vec{m}$ и $\vec{n}$ противоположно направлены.

2. Проверим пару векторов $\vec{n}$ и $\vec{k}$. Найдем коэффициент $\lambda$ такой, что $\vec{k} = \lambda\vec{n}$.
Отношение первых координат: $\frac{3}{-1} = -3$.
Отношение вторых координат: $\frac{-\frac{9}{2}}{\frac{3}{2}} = -\frac{9}{2} \cdot \frac{2}{3} = -\frac{18}{6} = -3$.
Коэффициент пропорциональности $\lambda = -3 < 0$, следовательно, векторы $\vec{n}$ и $\vec{k}$ также противоположно направлены.
Ответ: $\vec{m}$ и $\vec{n}$; $\vec{n}$ и $\vec{k}$.